「题解」300iq Contest 2 H. Honorable Mention

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题目

题目链接：gym102331H。

题意概述

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，有 \(q\) 次询问，每次询问给定三个参数 \(l,r,k\)，求出对于区间 \([l,r]\)，你将其划分为若干个子区间，然后取其中的 \(k\) 个，最大化取出来的所有元素的和。即：最大 \(k\) 子段和。

\(1\leq n,q\leq 3.5\times 10^4\)，\(|a_i|\leq 3.5\times 10^4\)。

题解

寻找函数的性质

如果我们设 \(f_{[l,r]}(k)\) 表示区间 \(l,r\) 的最大 \(k\) 子段和，那么我们不难猜测到 \(l,r\) 相同时，\(f(k)\) 是一个上凸函数。

我们考虑证明这一点，即 \(f(k)-f(k-1)\geq f(k+1)-f(k)\)。

考虑反证法，设 \(\exists x\in\mathbb{N}\)，满足 \(f(x)-f(x-1)<f(x+1)-f(x)\)。

那么我们考虑在 \(x-1,x,x+1\) 的时候的选取方案。

• 若取 \(x+1\) 的时候正子段仍未取完，那么 \(f(x)\) 比 \(f(x-1)\) 多取了一个区间 \(p(p>0)\)；\(f(x+1)\) 比 \(f(x)\) 多取了一个区间 \(q(q>0)\)。
  
  如果我们认为 \(f(x)-f(x-1)<f(x+1)-f(x)\)，也就是 \(p<q\)，那么我们不如交换这两个区间，可以使得 \(f(x)\) 更优。
• 若取 \(x-1\) 的时候正子段取完了，那么 \(f(x)\) 比 \(f(x-1)\) 多取了一个区间 \(p(p<0)\)；\(f(x+1)\) 比 \(f(x)\) 多取了一个区间 \(q(q<0)\)。
  
  如果我们认为 \(f(x)-f(x-1)<f(x+1)-f(x)\)，也就是 \(p<q\)，那么我们不如交换这两个区间，可以使得 \(f(x)\) 更优。

综上所述，如果选取的方案不满足上凸包的性质，我们总是可以通过调整法将其变成上凸包。

合并凸包——闵可夫斯基和

如果我们求出了区间 \([l,r]\) 内的 \(f(k)\)，我们就想要知道这个东西是否支持快速合并，例如 \(f_{[l,\texttt{mid}]}+f_{[\texttt{mid}+1,r]}\to f_{[l,r]}\)。

答案是可以的。

考虑到 \(f(k)\) 的凸性，我们不妨使用 闵可夫斯基和 对两个凸包进行合并，时间复杂度为 \(\Theta(r-l)\)。

简单做法

通过上面的叙述，我们已经得到了一个简单的做法。

每次询问时，我们在线段树上求出此次询问覆盖的区间，并将所有的凸包合并，然后直接得到 \(f(k)\) 即为答案。

考虑分析时间复杂度，不难发现，这种做法的单次询问时间复杂度与区间长度有关，我们需要更优秀的做法。

wqs 二分

我们考虑不将区间合并，而是直接在线段树上的 \(\Theta(\log_2n)\) 个区间内求解答案。

具体地，我们决定使用 wqs 二分，解除掉选择区间个数的限制，然后各个区间就可以互不干扰的选择，很容易就能求出最优解。通过调整最终的斜率，我们可以得出答案，时间复杂度为 \(\Theta(q\log^3_2n)\)。

整体 wqs 二分

我们考虑到，当 \(k\) 增大时，其对应的 wqs 二分时的斜率也会越大，因此这个二分具有单调性，我们可以将询问对 \(k\) 排序，然后进行整体二分，常数更小的方法是在线段树上维护一个指针，表示上一次 \(k\leq x\) 的最优位置，然后暴力自增即可。

时间复杂度为 \(\Theta(q\log_2^2n)\)。

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
#define flush() (fwrite(wbuf,1,wp1,stdout),wp1=0)
#define putchar(c) (wp1==wp2&&(flush(),0),wbuf[wp1++]=c)
static char wbuf[1<<21];int wp1;const int wp2=1<<21;
inline int read(void){
	reg bool f=false;
	reg char ch=getchar();
	reg int res=0;
	while(!isdigit(ch))f|=(ch=='-'),ch=getchar();
	while(isdigit(ch))res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();
	return f?-res:res;
}

inline void writeln(reg int x){
	static char buf[32];
	reg int p=-1;
	if(x<0) x=-x,putchar('-');
	if(!x) putchar('0');
	else while(x) buf[++p]=(x%10)^'0',x/=10;
	while(~p) putchar(buf[p--]);
	putchar('\n');
	return;
}

inline int max(reg int a,reg int b){
	return a>b?a:b;
}

const int MAXN=5e4+5;
const int MAXQ=5e4+5;
const ll inf=1e12;

struct querys{
	int id,l,r,k,lef,rig;
};

inline bool cmp(const querys& a,const querys& b){
	return (a.lef+a.rig)>(b.lef+b.rig);
}

typedef vector<ll> Data;

inline Data max(Data a,Data b){
	if(a.size()>b.size()){
		for(reg int i=0,siz=b.size();i<siz;++i)
			a[i]=max(a[i],b[i]);
		return a;
	}
	else{
		for(reg int i=0,siz=a.size();i<siz;++i)
			b[i]=max(b[i],a[i]);
		return b;
	}
}

inline Data operator+(Data a,Data b){
	if(!a.size()||!b.size())
		return vector<ll>{};
	Data res;
	res.resize(a.size()+b.size()-1);
	res[0]=a[0]+b[0];
	reg unsigned int i=1,j=1,k=1;
	while(i<a.size()&&j<b.size())
		if(a[i]-a[i-1]>b[j]-b[j-1])
			res[k++]=b[j-1]+a[i++];
		else
			res[k++]=a[i-1]+b[j++];
	while(i<a.size())
		res[k++]=b[j-1]+a[i++];
	while(j<b.size())
		res[k++]=a[i-1]+b[j++];
	return res;
}

inline Data shift(Data a){
	if(!a.size())
		return vector<ll>{};
	else
		return vector<ll>(a.begin()+1,a.end());
}

inline void print(Data p){
	for(auto x:p)
		printf("%lld ",x);
	return;
}

int tim;
pair<ll,int> f[2],g[2];

namespace SegmentTree{
	#define lson ( (k) << 1 )
	#define rson ( (k) << 1 | 1 )
	#define mid ( ( (l) + (r) ) >> 1 )
	struct Node{
		Data dat[2][2];
		int t;
		unsigned int ptr[2][2];
		#define dat(x) unit[(x)].dat
		#define t(x) unit[(x)].t
		#define ptr(x) unit[(x)].ptr
	};
	Node unit[MAXN<<2];
	inline void pushup(reg int k){
		dat(k)[0][0]=max(
			max(dat(lson)[0][0]+dat(rson)[0][0],dat(lson)[0][0]+dat(rson)[1][0]),
			max(dat(lson)[0][1]+dat(rson)[0][0],max(dat(lson)[0][1]+dat(rson)[1][0],shift(dat(lson)[0][1]+dat(rson)[1][0])))
		);
		dat(k)[0][1]=max(
			max(dat(lson)[0][0]+dat(rson)[0][1],dat(lson)[0][0]+dat(rson)[1][1]),
			max(dat(lson)[0][1]+dat(rson)[0][1],max(dat(lson)[0][1]+dat(rson)[1][1],shift(dat(lson)[0][1]+dat(rson)[1][1])))
		);
		dat(k)[1][0]=max(
			max(dat(lson)[1][0]+dat(rson)[0][0],dat(lson)[1][0]+dat(rson)[1][0]),
			max(dat(lson)[1][1]+dat(rson)[0][0],max(dat(lson)[1][1]+dat(rson)[1][0],shift(dat(lson)[1][1]+dat(rson)[1][0])))
		);
		dat(k)[1][1]=max(
			max(dat(lson)[1][0]+dat(rson)[0][1],dat(lson)[1][0]+dat(rson)[1][1]),
			max(dat(lson)[1][1]+dat(rson)[0][1],max(dat(lson)[1][1]+dat(rson)[1][1],shift(dat(lson)[1][1]+dat(rson)[1][1])))
		);
		return;
	}
	inline void build(reg int k,reg int l,reg int r,reg int a[]){
		if(l==r){
			dat(k)[0][0]=vector<ll>{0,-inf},dat(k)[1][1]=vector<ll>{-inf,a[l]};
			return;
		}
		build(lson,l,mid,a),build(rson,mid+1,r,a);
		pushup(k);
		return;
	}
	inline void query(reg int k,reg int l,reg int r,reg int L,reg int R,reg ll K){
		if(t(k)!=tim){
			t(k)=tim;
			ptr(k)[0][0]=ptr(k)[0][1]=ptr(k)[1][0]=ptr(k)[1][1]=0;
		}
		if(L<=l&&r<=R){
			g[0]=f[0],g[1]=f[1],f[0]=f[1]=make_pair(-inf,0);
			for(reg int i=0;i<2;++i)
				for(reg int j=0;j<2;++j)
					if(dat(k)[i][j].size()){
						while(ptr(k)[i][j]<dat(k)[i][j].size()-1&&dat(k)[i][j][ptr(k)[i][j]+1]-dat(k)[i][j][ptr(k)[i][j]]>=K)
							++ptr(k)[i][j];
						pair<ll,int> p=g[1],v;
						if(i&&K>0)
							p.first+=K,--p.second;
						v=max(g[0],p);
						v.first+=dat(k)[i][j][ptr(k)[i][j]]-ptr(k)[i][j]*K,v.second+=ptr(k)[i][j];
						f[j]=max(f[j],v);
					}
			return;
		}
		if(L<=mid)
			query(lson,l,mid,L,R,K);
		if(R>mid)
			query(rson,mid+1,r,L,R,K);
		return;
	}
	#undef lson
	#undef rson
	#undef mid
	#undef dat
	#undef t
	#undef ptr
}

int n,q;
int a[MAXN];
querys qu[MAXQ],lef[MAXQ],rig[MAXQ];
int ans[MAXQ];

int main(void){
	n=read(),q=read();
	for(reg int i=1;i<=n;++i)
		a[i]=read();
	SegmentTree::build(1,1,n,a);
	for(reg int i=1;i<=q;++i)
		qu[i].id=i,qu[i].l=read(),qu[i].r=read(),qu[i].k=read(),qu[i].lef=-1e9,qu[i].rig=1e9;
	while(true){
		reg int cnt=0;
		++tim;
		sort(qu+1,qu+q+1,cmp);
		for(reg int i=1;i<=q;++i)
			if(qu[i].lef<=qu[i].rig){
				++cnt;
				f[0]=make_pair(0,0),f[1]=make_pair(-inf,0);
				SegmentTree::query(1,1,n,qu[i].l,qu[i].r,(qu[i].lef+qu[i].rig)>>1);
				pair<ll,int> res=max(f[0],f[1]);
				if(res.second>=qu[i].k)
					ans[qu[i].id]=res.first+qu[i].k*((qu[i].lef+qu[i].rig)>>1),qu[i].lef=((qu[i].lef+qu[i].rig)>>1)+1;
				else
					qu[i].rig=((qu[i].lef+qu[i].rig)>>1)-1;
			}
		if(!cnt)
			break;
	}
	for(reg int i=1;i<=q;++i)
		writeln(ans[i]);
	flush();
	return 0;
}