51Nod 1225 余数之和 —— 分区枚举

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1225 余数之和 

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

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F(n) = (n % 1) + (n % 2) + (n % 3) + ...... (n % n)。其中%表示Mod，也就是余数。

例如F(6) = 6 % 1 + 6 % 2 + 6 % 3 + 6 % 4 + 6 % 5 + 6 % 6 = 0 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3。

给出n，计算F(n), 由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果即可。

 

Input

输入1个数N(2 <= N <= 10^12)。

Output

输出F(n) Mod 1000000007的结果。

Input示例

6

Output示例

3

题解：

这题（LightOJ1245）的加强版，本来是求sigma(n/i)  1<=i<=n，而此题求的是：sigma(n%i)  1<=i<=n。

分两个区间枚举：

第一个区间 [1,sqrt(n)]：设i为除数，从1到sqrt(n)枚举i， 直接 ans += n%i；

第二个区间 [sqrt(n), n]：设i为商，从1到sqrt(n)枚举i，由于用后面区间的数去除n所得到的商，在很大一片区域是相同的，在这片区域，他们的余数成等差数列，且公差即为商，所以就可根据等差数列的求和公式，求出这段区域的余数和了。

需要特判在sqrt(n)处是否重复计算了。

代码如下：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <map>
 #include <string>
 #include <set>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int INF = 2e9;
 const LL LNF = 9e18;
 const int MOD = 1e9+;
 const int MAXM = 1e5+;
 const int MAXN = 1e6+;

 //inv(2,MOD-2) = 500000004
 int main()
 {
     LL n;
     while(scanf("%lld", &n)!=EOF)
     {
         LL m = (LL)sqrt(n);
         LL ans = ;
         for(LL i = ; i<=m; i++)
             ans = (ans+n%i)%MOD;
         for(LL i = ; i<=m; i++)
         {
             LL cnt = ((n/i)%MOD-(n/(i+))%MOD+MOD)%MOD;     //求个数也要求模
             LL a1 = n%i;
             LL s = (a1*cnt%MOD + ((cnt*(cnt-)%MOD)*500000004LL%MOD)*i%MOD)%MOD;
             ans = (ans+s)%MOD;
         }

         if(n/m==m) ans = (ans-(n%m)+MOD)%MOD;
         printf("%lld\n",ans);
     }
 }