【题解】cycle

【题解】cycle

题目描述

给定一个无向图，求一个环，使得环内边权\(\div\)环内点数最大。

数据范围

\(n \le 5000\) \(m\le 10000\)

\(Solution\)

考虑到我们可以对答案的式子变一下形，

\(\frac{\Sigma_{i\in V'} w_i}{|V'|}\le ans\)

\(\Sigma_{i\in V'}w_i-ans\times |V'|\le0\)

这一步不要看不懂了(\(i\)共有\(|V'|\)个，所以\(ans\)仍然总共被加了\(|V'|\)次):

\(\Sigma_{i\in V'} (w_i-ans) \le 0\)

即

\(\Sigma_{i \in V'} w'_i\le0\)

直接\(spfa\)跑负环就好了。

实际上这是一个很有用的方法，先根据题目答案的意义判断是否存在答案单调性，再通过数学变换得到我们想要的式子。

或者感性理解，我们得到一堆边的平均边权是\(ans\)了，那么这个边集的所有权减去这个\(ans\)然后加起来一定等于\(0\)。假如加起来比\(0\)大，说明不存在，假设比这个小，说明有更优解。

上好看的代码qvq

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;typedef long long ll;
#define DRP(t,a,b) for(register int t=(a),edd=(b);t>=edd;--t)
#define RP(t,a,b)  for(register int t=(a),edd=(b);t<=edd;++t)
#define ERP(t,a)   for(register int t=head[a];t;t=e[t].nx)
#define midd register int mid=(l+r)>>1
#define TMP template < class ccf >
TMP inline ccf qr(ccf b){
    register char c=getchar();register int q=1;register ccf x=0;
    while(c<48||c>57)q=c==45?-1:q,c=getchar();
    while(c>=48&&c<=57)x=x*10+c-48,c=getchar();
    return q==-1?-x:x;}
TMP inline ccf Max(ccf a,ccf b){return a<b?b:a;}
TMP inline ccf Min(ccf a,ccf b){return a<b?a:b;}
TMP inline ccf Max(ccf a,ccf b,ccf c){return Max(a,Max(b,c));}
TMP inline ccf Min(ccf a,ccf b,ccf c){return Min(a,Min(b,c));}
TMP inline ccf READ(ccf* _arr,int _n){RP(t,1,_n)_arr[t]=qr((ccf)1);}
//----------------------template&IO---------------------------

const int maxn=3e3+15;
const int maxm=1e4+15;
struct E{
    int to,nx;
    long double w;
}e[maxm];
const long double EPS=1e-10;
int head[maxn];
int usd[maxn];
bool in[maxn];
double d[maxn];
double sa[maxm];
int cnt;
int n,m;
inline void add(int fr,int to,long double w){
    cnt++;
    e[cnt].to=to;
    e[cnt].nx=head[fr];
    e[cnt].w=w;
    sa[cnt]=w;
    head[fr]=cnt;
}
bool c=0;
void spfa(int now){
    if(c) return;
    usd[now]=1;
    ERP(t,now){
        if(d[e[t].to]>d[now]+e[t].w){
            d[e[t].to]=d[now]+e[t].w;
            if(c||usd[e[t].to]) return void(c=1);
            spfa(e[t].to);
        }
    }
    usd[now]=0;
}

inline bool chek(long double x){
    RP(t,1,m) e[t].w=sa[t]-x;
    RP(t,1,n) usd[t]=d[t]=0;c=0;
    RP(t,1,n) if(!usd[t]) spfa(t);
    return c;
}

int main(){
    n=qr(1);m=qr(1);
    int t1,t2;
    long double t3;
    long double l=-1e7-(long double)1,r=1e7+(long double)1;
    long double mid;
    RP(t,1,m){
        t1=qr(1);t2=qr(1);
        scanf("%Lf",&t3);
        add(t1,t2,t3);
    }
    do{
        mid=(l+r)/(long double)2;
        if(chek(mid))
            r=mid;
        else
            l=mid;
    }while(l+EPS<r);
    printf("%.8Lf\n",l);
    return 0;
}

/*
  dfs序+树连剖腹
  乱做
  orz yyb

  不行 有情况没有考虑到！
  直接tarjin

  二分就好了吧 乱做OK

  不行 我是****
*/