[bzoj3944] sum [杜教筛模板]

题面：

传送门

就是让你求$ \varphi\left(i\right) $以及$ \mu\left(i\right) $的前缀和

思路：

就是杜教筛的模板

我们把套路公式拿出来：

$ g\left(1\right)S\left(n\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(g\ast f\right)\left(i\right)-\sum_{i=2}^{n}g\left(i\right)S\left(\frac ni\right) $

其中函数$f$分别为$\varphi$以及$\mu$

对于这两个函数有两个非常好用的卷积公式：

$\left(\mu\ast I\right)=\varepsilon$

$\left(\varphi\ast I\right)=id$

那么我们设g(x)=1，然后把g(x)带进去，两个前缀和就变成了这样的：

$S\left(n\right)=1-\sum_{i=2}^{n}S\left(\frac ni\right)$这个是$\mu$

$S\left(n\right)=\frac{n\ast\left(n+1\right)}{2}-\sum_{i=2}^{n}S\left(\frac ni\right)$这个是$\varphi$

然后递归，记忆化求和就可以了

注意最好写成一个递归处理两个答案......不然会T成狗

Code：

这里提供两个函数分开的版本，方便查看

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<map>
 #define ll long long
 using namespace std;
 inline ll read(){
     ll re=,flag=;char ch=getchar();
     while(ch>''||ch<''){
         if(ch=='-') flag=-;
         ch=getchar();
     }
     while(ch>=''&&ch<='') re=(re<<)+(re<<)+ch-'',ch=getchar();
     return re*flag;
 }
 ll phi[],pri[],tot=,mu[],n;bool vis[];
 void init(){
     ll i,j,k;phi[]=mu[]=;phi[]=;
     for(i=;i<=;i++){
         if(!vis[i]){
             pri[++tot]=i;phi[i]=i-;mu[i]=-;
         }
         for(j=;j<=tot;j++){
             k=i*pri[j];if(k>) break;
             vis[k]=;
             if(i%pri[j]==){
                 phi[k]=phi[i]*pri[j];
                 mu[k]=;
                 break;
             }
             phi[k]=phi[i]*phi[pri[j]];
             mu[k]=-mu[i];
         }
     }
     for(i=;i<=;i++) phi[i]=phi[i-]+phi[i],mu[i]=mu[i-]+mu[i];
 }
 ll sum1(ll x){return x*(x+)/;}
 ll v1[],v2[],m1[],m2[];
 ll S1(ll x){
     if(x<=) return phi[x];
     ll re=sum1(x);ll i,j,t=n/x;
     if(v1[t]) return m1[t];
     for(i=;i<=x;i=j+){
         j=x/(x/i);
         re-=(j-i+)*S1(x/i);
     }
     v1[t]=;
     return m1[t]=re;
 }
 ll S2(ll x){
     if(x<=) return mu[x];
     ll re=,i,j,t=n/x;
     if(v2[t]) return m2[t];
     for(i=;i<=x;i=j+){
         j=x/(x/i);
         re-=(j-i+)*S2(x/i);
     }
     v2[t]=;
     return m2[t]=re;
 }
 int main(){
     ll T=read();init();
     while(T--){
         n=read();memset(v1,,sizeof(v1));memset(v2,,sizeof(v2));
         printf("%lld %lld\n",S1(n),S2(n));
     }
 }