UVA11478 Halum (差分约束)
每次操作是独立的,而且顺序并不影响,作用在同一个结点上的d可以叠加,所以令x(u) = sigma(dui).
最后就是要确定所有的x(u)。
因为m越大,满足条件的边就越少,二分答案m。
对于一条边a->b,可以列出一个不等式d(a,b) +x(a)-x(b)>=m,移项可得x(b)-x(a)<=d(a,b)-m
正好满足差分约束的形式。所有的边就对应着一个差分约束系统。
差分约束有解的充要条件是不存在负环。
证明:
x(b)-x(a)<=-c,c>0,意味着x(a)至少比x(b)大c,
因为不等式的传递性,如果x(a)在一个负环上,那么意味着x(a)>x(a),这是矛盾的。
因为一开始图不一定连通,可以加一个源点和其他所有点相连,边权为0,用源点的距离表示x(i)的值,
或者sfpa的时候把所有的点加入栈中(判负环用stack比较快)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; //#define LOCAL
const int maxn = ,maxm = ;
int hd[maxn],nx[maxm],to[maxm],d[maxm];
int n,m; int D[maxn],vis[maxn];
int cnt[maxn]; bool spfa()
{
stack<int>S;
memset(cnt,,sizeof(cnt));
for(int i = ; i <= n; i++) { vis[i] = true; D[i] = .; S.push(i); }
while(S.size()){
int u = S.top(); S.pop();
vis[u] = false;
for(int i = hd[u]; ~i; i = nx[i]){
int v = to[i];
if(D[v]>D[u]+d[i]){
D[v] = D[u]+d[i];
if(!vis[v]){
S.push(v); vis[v] = true;
if(++cnt[v] > n) return true;
}
}
}
}
return false;
}
bool P(int x)
{
for(int i = ; i < m; i++) d[i] -= x;
for(int i = ; i <= n; i++) D[i] = ;
bool fg = spfa();
for(int i = ; i < m; i++) d[i] += x;
return fg;
} int main()
{
#ifdef LOCAL
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
memset(hd,-,sizeof(hd));
int l = ,r = ;
for(int i = ; i < m; i++){
int u; scanf("%d%d%d",&u,to+i,d+i);
nx[i] = hd[u];
hd[u] = i;
r = max(r,d[i]);
}
if(P(l)) { puts("No Solution"); continue; }
if(!P(r+)) { puts("Infinite"); continue; }
while(l<r){
int x = (l+r+)>>;
!P(x)?l = x:r = x-;
}
printf("%d\n",l);
}
return ;
}
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