SG函数入门&&HDU 1848

SG函数

sg[i]为0表示i节点先手必败。

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g(x)即sg[x]

例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1,3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

sg[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1时，可以取走{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}=mex{0}，故sg[1]=1;

x=2时，可以取走{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}=mex{1}，故sg[2]=0；

x=3时，可以取走{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}=mex{0,0}，故sg[3]=1;

x=4时，可以取走{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}=mex{1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时，可以取走{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}=mex{2,0,1},故sg[5]=3；

以此类推.....

x         0  1  2  3  4  5  6  7  8....

sg[x]      0  1  0  1  2  3  2  0  1....

计算从1-n范围内的SG值。

f(存储可以走的步数，f[0]表示可以有多少种走法)

f[]需要从小到大排序

1. 可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);
2. 可选步数为任意步，SG(x) = x;
3. 可选步数为一系列不连续的数，用GetSG()计算

证明略（不会）

求SG值

1. 打表

//f[]: 可以取走的石子数量
//sg[]: 1~n的sg函数值
//vis[]: mex{}
void getSG(int n) {
    memset(sg, , sizeof(sg));
    for (int i = ; i <= n; i++) {
        memset(vis, , sizeof(vis));
        for (int j = ; f[j] <= i && j < maxm; j++)
            vis[sg[i - f[j]]] = ;
        for (int j = ;; j++) if (!vis[j]) {   //最小的未出现的正整数
            sg[i] = j;
            break;
        }
    }
}

2. 记忆化搜索

//记忆化搜索
//f[]: 从小到大排序
//sg[]: 初始化为-1
//maxm，石子个数，集合的最大数量
int dp(int x)
{
    if (sg[x] != -)  return sg[x];
    bool vis[maxn];
    memset(vis, , sizeof(vis));
    for (int i = ; i < maxm; i++)
    {
        if (f[i] <= x)
        {
            dp(x - f[i]);
            vis[sg[x - f[i]]] = ;
        }
    }
    for (int i = ;; i++)
    {
        if (!vis[i])  return sg[x] = i;
    }
}

HDU 1848

今天，又一个关于Fibonacci的题目出现了，它是一个小游戏，定义如下：
1、  这是一个二人游戏;

2、  一共有3堆石子，数量分别是m, n, p个；

3、  两人轮流走;

4、  每走一步可以选择任意一堆石子，然后取走f个；

5、  f只能是菲波那契数列中的元素（即每次只能取1，2，3，5，8…等数量）；

6、  最先取光所有石子的人为胜者；

假设双方都使用最优策略，请判断先手的人会赢还是后手的人会赢。

代码：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 const int maxn =  + ;
 const int maxm = ;        //石子个数

 int f[maxm], sg[maxn];
 bool vis[maxn];
 //f[]: 可以取走的石子数量
 //sg[]: 1~n的sg函数值
 //vis[]: mex{}
 void getSG(int n) {
     memset(sg, , sizeof(sg));
     for (int i = ; i <= n; i++) {
         memset(vis, , sizeof(vis));
         for (int j = ; f[j] <= i && j < maxm; j++)
             vis[sg[i - f[j]]] = ;
         for (int j = ;; j++) if (!vis[j]) {   //最小的未出现的正整数
             sg[i] = j;
             break;
         }
     }
 }

 //记忆化搜索
 //f[]: 从小到大排序
 //sg[]: 初始化为-1
 //maxm，石子个数，集合的最大数量
 int dp(int x)
 {
     if (sg[x] != -)  return sg[x];
     bool vis[maxn];
     memset(vis, , sizeof(vis));
     for (int i = ; i < maxm; i++)
     {
         if (f[i] <= x)
         {
             dp(x - f[i]);
             vis[sg[x - f[i]]] = ;
         }
     }
     for (int i = ;; i++)
     {
         if (!vis[i])  return sg[x] = i;
     }
 }

 void init()
 {
     f[] = f[] = ;
     for (int i = ; i < maxm; i++)
         f[i] = f[i - ] + f[i - ];
     memset(sg, -, sizeof(sg));
 }

 int m, n, p;

 int main()
 {
     init();
     //getSG(1000);
     while (scanf("%d%d%d", &n, &m, &p) == && n)
     {
         if (dp(m) ^ dp(n) ^ dp(p))  printf("Fibo\n");
         else  printf("Nacci\n");
     }
     return ;
 }

参考链接：

1、https://blog.csdn.net/yizhangbiao/article/details/51992022

2、https://blog.csdn.net/strangedbly/article/details/51137432