【问题描述】

没有环的有向图称为有向无环图,这是一个多么美好的结构吖。

如果有一张有 N 个点的有向图,我们可能需要删掉一些边使它变成一张有向无环图。假设初始时我们只有 N 个互不相连的点,当然它也是一张有向无环图。依次给出 T 条边和每条边的方向。 每给出一条边就要立即决定是否要加入这一条边,使得这张图始终是一张有向无环图(意思是:按顺序处理每条边,能加就加,让你模拟这个过程,自环不能加入)。计算在满足要求的情况下一共有多少条边没有被加入。如果所有边都可以加入这张图则输出 0。

【输入格式】

第一行为两个整数:N(1<=N<=250),T(0<=T<=100,000)。接下来 T 行,每行两个整数 x,y(1 <=x,y<= N),表示一条从 x 到 y 的单向边。

【输出格式】

一个整数,表示没有被加入的边数。

【样例输入】

3 6

1 2

1 3

3 1

2 1

1 2

2 3

【样例输出】

2

【样例说明】

1-->2,之前 2-->1 没有路径,不会造成环,加入

1-->3,之前 3-->1 没有路径,不会造成环,加入

3-->1,之前 1-->3 有路径,使得图有环,不加入

2-->1,之前 1-->2 有路径,不加入

1-->2 , 之前 2-->1 没有路径,加入

2-->3,之前 3-->2 没有路径,加入

因此答案是 2

【数据规模】

对于40%的数据,n<=50,T<=1000

对于90%的数据,n<=150,T<=100000

对于100%的数据,n<=250,T<=100000

题解

我们用\(f[i][j]\)表示\(i\)是否能到\(j\)(1:能 0:不能)。首先忽略重边。判断一条边能否加入显然是\(O(1)\)的,只要看看\(f[y][x]\)是不是\(1\)即可。

若加入,就要维护连通性。

如图,对于两个点\(A,B\),圈表示点集,箭头表示边,连边\(A\to B\)后我们又要连蓝边与绿边。

不难发现,我们可以把\(A\)与蓝色集合、\(B\)与绿色集合合并,于是问题就变成了:

蓝色集合向绿色集合连边。

蓝色集合为能到达\(A\)的点集;绿色集合表示能到达\(B\)的点集。

\(n^2\)大力连边即可。

我的代码

#include <cstring>
#include <fstream> using namespace std; ifstream fin("stock.in");
ofstream fout("stock.out"); const int maxm=100000;
const int maxn=256; int a[maxn][maxn];
int b[maxm],c[maxm]; int main()
{
int n, m;
fin >> n >> m;
int ans=0;
for(int i=0; i<m; ++i)
{
int aa, bb;
fin >> aa >> bb;
if(aa==bb || a[bb][aa]) ans++;
else
{
int k1=0;
int k2=0;
b[++k1]=aa;
c[++k2]=bb;
for(int j=1; j<=n; ++j)
if(a[j][aa] && !a[j][bb])
b[++k1]=j;
for(int j=1; j<=n; ++j)
if(a[bb][j] && !a[aa][j])
c[++k2]=j;
for(int j=1; j<=k1; ++j)
for(int k=1; k<=k2; ++k)
a[b[j]][c[k]]=1;
}
}
fout << ans << '\n';
return 0;
}

bitset优化

以上代码是可过的,但还可以用bitset优化一下,上一发zd大佬的代码。

#include <iostream>
#include <bitset>
#include <cstdio> using namespace std; typedef int ll; inline char gc()
{
static char buf[1<<14],*p1=buf,*p2=buf;
return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<14,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
} #define dd c=gc()
inline ll read()
{
ll x=0,f=1;
char dd;
for(; !isdigit(c); dd)if(c=='-')f=-1;
for(; isdigit(c); dd)x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
return x*f;
}
#undef dd inline void write(ll x)
{
if(x<0)putchar('-'),x=-x;
if(x>9)write(x/10);
putchar(x%10|48);
} bitset<252>a[252]; int main()
{
freopen("stock.in","r",stdin);
freopen("stock.out","w",stdout);
register ll n=read(),ans=0;
for (register ll i=0; i<n; ++i) a[i][i]=1;
for (register ll m=read(),x,y; m; --m)
{
x=read()-1,y=read()-1;
if (a[y][x]) ++ans;
else if (!a[x][y])
for (register ll i=0; i<n; ++i)
{
if (a[i][x]) a[i]=a[i]|a[y];
}
}
return write(ans),0;
}

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