Python入门篇-数据结构树(tree)篇

                                      作者:尹正杰

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一.树概述

1>.树的概念

非线性结构,每个元素可以有多个前躯和后继

树是n(n>=0)个元素的集合:
n = 0时,称为空树
树只有一个特殊的没有前驱的元素,称为树的根root
树中除了根结点外,其余元素只能有一个前驱,可以有零个或者多个后继 递归定义:
数T是n(n>=0)个元素的集合。n=0时,称为空树
有且只有一个特殊元素根,剩余元素都可以被划分为m个互不相交的集合T1,T2,T3,...,Tm,而每一个集合都是树,称为T的子树subtree
子树也有自己的根

2>.数的相关术语

结点:
  树中的数据元素。 结点的度degree:
  结点拥有的子树的数目称为度,记作d(v)。 叶子结点:
  结点的度为0,称为叶子结点leaf,终端结点,末端结点。 分支结点:
  结点的度不为0,称为非终端结点或分支结点。 分支:
  结点之间的关系。 内部结点:
  除根结点外的分支结点,当然也不包括叶子结点。 如下图所示,数的度是树内各结点的度的最大值。D结点度最大为3,树的度数就是3.   

孩子结点(儿子Child)结点:
  结点的子树的根结点称为该结点的孩子。 双亲(父Parent)结点:
  一个结点是它各子树的根结点的双亲。 兄弟(Sibling)结点:
  具有相同双亲结点的节点。 祖先节点:
  从根结点到该结点所有分支上所有的节点,如上图所示:A,B,D都是G的祖先结点。 子孙结点:
  结点的所有子树上的结点称为该结点的子孙。B的子孙是D,G,H,I 结点的层次(Level):
  根节点为第一层,根的孩子为第二层,以此类推,记作L(v)。 树的深度(高度Depth):
  树的层次的最大值。上图的树深度为4. 堂兄弟:
  双亲在同一层的结点。 有序树:
  结点的子树是有顺序的(兄弟有大小,有先后次序),不能交换。 无序树:
  结点的子树是有无序的,可以交换。 路径:
  书中的k个节点n1,n2,n3,...,nk,满足ni是n(i+1)的双亲,称为n1到nk的一条路径。就是一条线串下来的,前一个都是后一个的父(前驱)结点。 路径的长度
  路径的长度 = 路径上结点点数 -1,也是分支数。 森林:
  m(m>=0)棵不想交的树的集合。对于节点而言,其子树的结合就是森林。A节点的2棵子树的集合就是森林。

3>.数的特点

    (1)唯一的根
(2)子树不相交
(3)除了根以外,每个元素只能有一个前驱,可以有零个或多个后继
(4)根结点没有双亲结点(前驱),叶子结点没有孩子结点(后继)
(5)vi是vj的双亲,则L(vi)=L(vj)-1,也就是说双亲比孩子结点的层次小1

二.树的分类

1>.二叉树

(1)每个结点最多2棵子树
    二叉树不存在度数大于2的结点。 (2)它是有序树,左子树,右子树是顺序的,不能交换次序 (3)即使某个节点只有一棵子树,也要确定它是左子树还是右子树 (4)二叉树的物种基本形态
    1)空二叉树
    2)只有一个根结点
    3)根结点只有左子树
    4)根结点只有右子树
    5)根结点有左子树和右子树

2>.斜树

左斜树
  所有节点都只有左子树 右斜树
  所有节点都只有右子树

3>.满二叉树

(1)一颗二叉树的所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有子节点只存在在最下面一层。

(2)同样深度二叉树中,满二叉树结点最多。

(3)K为深度(1<=k<=n),则节点总数为2^k-1

如下图,一个深度为4的15个节点的满二叉树

4>.完全Complete Binary Tree

若二叉树的深度为k,二叉树的层数从1到k-1层的节点数都达到了最大个数,在第k层的所有节点都集中在最左边,这就是完全二叉树。

完全二叉树由满二叉树引出。

满二叉树一定是完全二叉树,但完全二叉树不是满二叉树。

k为深度(1<=k<=n),则结点总数最大值为2^k-1,当达到最大值的时候就是满二叉树。

如下图所示,完全二叉树,最下一层的叶子结点都连续的集中在左边

三.二叉树性质

1>.性质1

  在二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点(i>=1)\

2>.性质2

  深度为k的二叉树,至多有2^k-1个结点(k>=1)
  一层:2 - 1 = 1
  二层:4 - 1 = 1 + 2 =3
  三层:8 - 1 = 1 + 2 + 4 = 7

3>.性质3

    对任何一棵二叉树T,如果其终结结点数为n0,度数为2的节点为n2,则有n0 = n2 + 1.
  换句话说,就是叶子结点数-1就等于度数为2的结点数。
  证明:
    (1)总结点数为n = n0 + n1 + n2,n1位度数为1的节点总数。
    (2)一棵树的分支为n-1,因为除了根结点外,其余结点都有一个分支,即n0 + n2 + n3 -1.
    (3)分支数还等于n0*0 + n1*1 +n2*2,n2是2分支结点所以乘以2,2*n2 + n1.
    (4)可得2*n2 + n1 = n0 + n1 + n2 -1 => n2 = n0 -1

4>.性质4

  具有n个结点的完全二叉树的深度为int(log2n)+1或者math.ceil(log2(n+1))

5>.性质5

  (1)如果有一棵n个结点的完全二叉树(深度为性质4),按照节点层次编号,如下图所示。
  (2)如果i=1,则节点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则其双亲是int(i/2),向下取整。就是子结点的编号整除2得到的就是父节点的编号。父结点如果是i,那么左孩子结点就是2i,右孩子结点就是2i+1.
  (3)如果2i>n,则节点i无左孩子,即结点i为叶子结点;否则其左孩子结点存在编号为2i。
  (4)如果2i+1>n,则结点i无右孩子,注意这里并不能说明结点i没有左孩子;否则右孩子节点存在编号为2i+1。

6>.其他性质

  (1)高度为k的二叉树,至少有k个结点。
  (2)含有n(n>=1)的结点的二叉树高度至多为n。
  (3)含有n(n>=1)的结点的二叉树的高度至多为n,最少为math.ceil(log2(n+1)),不小于对数值的最小整数,向上取整。
  (4)假设高度为h,2^h-1=n => h = log2(n+1),层次数是取整。如果是8个节点,3.1699就要向上取整为4,为4层。

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