CF717A Festival Organization（第一类斯特林数，斐波那契数列）

题目大意：求 $\sum\limits_{n=l}^{r}\dbinom{f_n}{k}\bmod 10^9+7$。其中 $f_n$ 是长度为 $n$ 的 $01$ 序列中，没有连续两个或超过两个 $0$ 的个数。

$1\le k\le 200,1\le l\le r\le 10^{18}$。

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先考虑如何求 $f_n$。

令 $g[i][j]$ 表示长度为 $i$，结尾是 $j$ 的序列个数。

$$g[i][0]=g[i-1][1]$$

$$g[i][1]=g[i-1][0]+g[i-1][1]$$

将第一个式子代入第二个式子有 $g[i][1]=g[i-2][1]+g[i-1][1]$。

手玩发现 $g[1][1]=1,g[2][1]=2$。那么有 $g[i][1]=fib_{i+1}$。（$fib$ 是斐波那契数列）

要求 $g[i][0]+g[i][1]=g[i-1][1]+g[i][1]=g[i+1][1]=fib_{i+2}$。

那么式子就是 $\sum\limits_{n=l+2}^{r+2}\dbinom{fib_n}{k}$。（为方便 $l+=2,r+=2$，下文假设是 $l$ 到 $r$）

$$\sum\limits_{n=l}^r\dbinom{fib_n}{k}$$

$$\dfrac{1}{k!}\sum\limits_{n=l}^rfib_n^{\underline{k}}$$

$$\dfrac{1}{k!}\sum\limits_{n=l}^r\sum\limits_{i=0}^k(-1)^{k-i}\begin{bmatrix}k\\i\end{bmatrix}fib_n^i$$

$$\dfrac{1}{k!}\sum\limits_{i=0}^k(-1)^{k-i}\begin{bmatrix}k\\i\end{bmatrix}\sum\limits_{n=l}^rfib_n^i$$

前面可以随便枚举，然而斐波那契 $k$ 次方前缀和这东西怎么搞？

这时就要用上大名鼎鼎的通项公式：（没记住的也可以现场用特征方程推）

$$fib_n=\dfrac{\sqrt{5}}{5}(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})^n-\dfrac{\sqrt{5}}{5}(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2})^n$$

令 $a=\dfrac{\sqrt{5}}{5},b=-\dfrac{\sqrt{5}}{5},x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},y=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$，那么 $fib_n=ax^n+by^n$。

$$\dfrac{1}{k!}\sum\limits_{i=0}^k(-1)^{k-i}\begin{bmatrix}k\\i\end{bmatrix}\sum\limits_{n=l}^r(ax^n+by^n)^i$$

$$\dfrac{1}{k!}\sum\limits_{i=0}^k(-1)^{k-i}\begin{bmatrix}k\\i\end{bmatrix}\sum\limits_{n=l}^r\sum\limits_{j=0}^i\dbinom{i}{j}(ax^n)^j(by^n)^{i-j}$$

$$\dfrac{1}{k!}\sum\limits_{i=0}^k(-1)^{k-i}\begin{bmatrix}k\\i\end{bmatrix}\sum\limits_{n=l}^r\sum\limits_{j=0}^i\dbinom{i}{j}(a^jb^{i-j})(x^jy^{i-j})^n$$

$$\dfrac{1}{k!}\sum\limits_{i=0}^k(-1)^{k-i}\begin{bmatrix}k\\i\end{bmatrix}\sum\limits_{j=0}^i\dbinom{i}{j}(a^jb^{i-j})\sum\limits_{n=l}^r(x^jy^{i-j})^n$$

此时 $i$ 和 $j$ 可以 $O(k^2)$ 枚举，而 $n$ 那里是个等差数列，总复杂度 $O(k^2\log r)$。（可能要预处理出所有斯特林数和组合数才能做到这个复杂度）

但是有个严重的问题：$\sqrt{5}$ 在模 $10^9+7$ 意义下不存在。

那么就要用到一个骚操作：扩系。

令 $(a,b)=a+b\sqrt{5}$，那么上文中的四个常数 $a=(0,5^{-1}),b=(0,-5^{-1}),x=(2^{-1},2^{-1}),y=(2^{-1},-2^{-1})$。

那么进行加减乘除就简单了：

$$(a,b)\pm(c,d)=(a\pm c,b\pm d)$$

$$(a,b)\times(c,d)=(ac+5bd,ad+bc)$$

$$\dfrac{1}{(a,b)}=(\dfrac{a}{a^2-5b^2},\dfrac{-b}{a^2-5b^2})$$

因为式子没推错（只能这么想了啊），最后求出的一定是整数。

那么就做完了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=,mod=,inv2=,inv5=;
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline ll read(){
    char ch=getchar();ll x=,f=;
    while(ch<'' || ch>'') f|=ch=='-',ch=getchar();
    while(ch>='' && ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
    return f?-x:x;
}
int k,fac[maxn],invfac[maxn],ans,S[maxn][maxn],C[maxn][maxn];
ll l,r;
inline int add(int x,int y){return x+y<mod?x+y:x+y-mod;}
inline int sub(int x,int y){return x<y?x-y+mod:x-y;}
inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
inline int qpow(int a,ll b){
    int ans=;
    for(;b;b>>=,a=mul(a,a)) if(b&) ans=mul(ans,a);
    return ans;
}
struct comp{
    int x,y;
    comp(const int xx=,const int yy=):x(xx),y(yy){}
    inline comp operator+(const comp &c)const{return comp(add(x,c.x),add(y,c.y));}
    inline comp operator-(const comp &c)const{return comp(sub(x,c.x),sub(y,c.y));}
    inline comp operator*(const comp &c)const{return comp(add(mul(x,c.x),mul(,mul(y,c.y))),add(mul(x,c.y),mul(y,c.x)));}
    inline comp inv()const{
        comp ans(x,y?mod-y:);
        int dn=qpow(sub(mul(x,x),mul(,mul(y,y))),mod-);
        return ans*dn;
    }
    inline comp operator/(const comp &c)const{return *this*c.inv();}
    inline bool operator==(const comp &c)const{return x==c.x && y==c.y;}
}a(,inv5),b(,mod-inv5),x(inv2,inv2),y(inv2,mod-inv2);
inline comp cqpow(comp a,ll b){
    comp ans(,);
    for(;b;b>>=,a=a*a) if(b&) ans=ans*a;
    return ans;
}
comp calc(comp x,ll l,ll r){
    if(x==) return (r-l+)%mod;
    return (cqpow(x,r+)-cqpow(x,l))/(x-);
}
int main(){
    k=read();l=read();r=read();
    FOR(i,,k) C[i][]=C[i][i]=;
    FOR(i,,k) FOR(j,,i-) C[i][j]=add(C[i-][j],C[i-][j-]);
    S[][]=;
    FOR(i,,k) FOR(j,,i) S[i][j]=add(mul(i-,S[i-][j]),S[i-][j-]);
    fac[]=;
    FOR(i,,k) fac[i]=mul(fac[i-],i);
    invfac[k]=qpow(fac[k],mod-);
    FOR(i,,k){
        int s=;
        FOR(j,,i){
            comp tmp1=cqpow(a,j)*cqpow(b,i-j),tmp2=cqpow(x,j)*cqpow(y,i-j);
            s=add(s,mul(C[i][j],(tmp1*calc(tmp2,l+,r+)).x));
        }
        s=mul(s,S[k][i]);
        if((k-i)&) ans=sub(ans,s);
        else ans=add(ans,s);
    }
    printf("%d\n",mul(ans,invfac[k]));
}