大M法（Big M Method）

前面一篇讲的单纯形方法的实现,但程序输入的必须是已经有初始基本可行解的单纯形表。

但实际问题中很少有现成的基本可行解，比如以下这个问题：

min f(x) = –3x1 +x2 + x3

s.t. x1 – 2x2 + x3 + x4=11

      -4x1 + x2 + 2x3 - x5=3

      -2x1+x3=1

      xj>=0 , j=1,2,3,4,5

写成单纯形表就是

	x1	x2	x3	x4	x5	b
f	3	-1	-1	0	0	0
	1	-2	1	1	0	11
	-4	1	2	0	-1	3
	-2	0	1	0	0	1

很难找到秩为3的基阵，更不用说直接出现3阶单位阵了。在实际问题中，尤其是约束条件变多时，找到基阵甚至是判定A是否满秩都十分困难，因此在程序中引入大M法（Big M Method）来获得初始的基本可行解，这样我们能处理的问题就更加多样化了。

上篇已经说过，对于m*n的矩阵A来说，找到一个m*m 的满秩方阵就能得到基本可行解，但是在这么多列向量中怎样挑出m个线性无关的向量来组成一个满秩方阵呢？如果找起来麻烦的话，不如直接添加一个m阶单位阵来的方便！

大M法

大M法又称惩罚法，它是在目标函数中添加m个人工变量M*x（M是一个任意大的正数），同时在A矩阵中添加一个m阶单位矩阵。

这样一来新的A矩阵中就有了一个m*m满秩方阵，满足单纯形法求解的初始要求，但是若要得到最小值f(x),新添加的人工变量的值必然是0的，因为M可以是很大的数，如果Xn+1不为0，f(x)可能会很大，如果无法做到令人工变量取0值，那么原问题就无可行解。

需要注意的是，添加完人工变量之后，人工变量构成一组可行解的基变量，但单纯形初始矩阵要求基变量对应的检验数为0，故需要做行变换把基变量对应的检验数置0。

例如，本文开始引入的问题经过添加人工变量后变为

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	b
f	3	-1	-1	0	0	-M	-M	-M	0
x6	1	-2	1	1	0	1	0	0	11
x7	-4	1	2	0	-1	0	1	0	3
x8	-2	0	1	0	0	0	0	1	1

再进行行变换把基变量x6，x7，x8对应的检验数置0，得到：

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	b
f	3-5M	-1-M	-1+4M	0	0	0	0	0	0
x6	1	-2	1	1	0	1	0	0	11
x7	-4	1	2	0	-1	0	1	0	3
x8	-2	0	1	0	0	0	0	1	1

进行完这步之后，就回到了单纯形法求解的基本问题，利用原来的算法继续计算就好了。

Matlab实现

BigM.m

function [ x,y ] = BigM( f,A,b )
%输入f是检验数的数组，1*n维
%输入A是约束矩阵， m*n维
%输入b是约束向量， 1*m维
%输出x是解向量
%输出y是最优解
%判断输入维数是否相符
%做初始单纯形表,加入M变量
[n,m]=size(A);%n行m列
M=10000;
S=[f -1*M*ones(1,n) 0;
   A   eye(n)       b'];
format rat %将结果以分数表示
[n,m]=size(S);
%将人工变量的检验数置零
for k=1:n-1
    S(1,:)=S(1,:)+S(k+1,:)*M;
end
%判断检验数 r<=0
r=find(S(1,1:m-1)>0);
len=length(r);
flag=0;
%有大于0的检验数则进入循环
while(len)
    %检查非负检验数所对列向量元素是否都小于等于0
    for k=1:length(r)
        d=find(S(:,r(k))>0);
        if(length(d)+1==2)
        error('无最优解！！！')
        %break;
        end
    end
    %找到检验数中最大值
    [Rk,j]=max(S(1,1:m-1));
    %最大值所在列比值为正数且最小值br/a_rk
    br=S(2:n,m)./S(2:n,j);
    %把比值中的负数都变无穷
    for p=1:length(br)
        if(br(p)<0)br(p)=Inf;
        end
    end
    [h,i]=min(br);%列向量比值最小值
    % i+1为转轴元行号(在S中)，j为转轴元列号
    i=i+1;
    %进行换基,转轴元置1
    S(i,:)=S(i,:)./S(i,j);
    %转轴元所在列其他元素都置0
    for k=1:n
        if(k~=i)
            S(k,:)=S(k,:)-S(i,:)*S(k,j);
        end
    end
    %判断检验数 r<=0
    r=find(S(1,1:m-1)>0);
    len=length(r);
%     %调试用，控制循环步数
%     if(len>0)flag=flag+1;end
%     if(flag==2)break;end
%     S
end
    %检验数全部非正，找到最优解
    %非基变量置0
    x=zeros(1,m-1);
    for i=1:m-1
        %找到基变量
        j=find(S(:,i)==1);%每列中1的个数
        k=find(S(:,i)==0);%每列中0的个数
        if((length(j)+1==2)&&(length(k)+1==n))
            %i为基本元列号，j是行号
            x(i)=S(j,m);
        end
    end
    y=S(1,m);%最优解
    S
end

测试程序：

f=[3 -1 -1 0 0];
A=[1 -2 1 1  0;
  -4  1 2 0 -1;
  -2  0 1 0  0 ];
b=[11 3 1 ];
[x,y]=BigM(f,A,b)
f=[5 2 3 -1];
A=[1 2 3 0 ;
   2 1 5 0 ;
   1 2 4 1 ];
b=[15 20 26];
[x,y]=BigM(f,A,b)
f=[5 10 0 0 0 ];
A=[1/14 1/7 1 0 0;
   1/7 1/12 0 1 0;
   1    1   0 0 1 ];
b=[1 1 8];
[x,y]=BigM(f,A,b)
[x,y]=Simplex(f,A,b)

计算结果：