【USACO】Cow Brainiacs
题意描述
求 \(n!\) 在 \(b\) 进制表示下的第一位非 \(0\) 位的数字。
算法分析
闲话
忙人自动略过
之前做过一道 \(10\) 进制表示下的题目,感觉差不多。
一开始没什么思路,就随手打了个暴力进去,结果竟然 AC 了。(只能说数据水)
n=read(),b=read();
for(int i=2;i<=n;i++){
f*=i;
while(f%b==0)
f/=b;
f%=b;
}
开开心心交给 GY,结果 \(2\) 分钟之后被 Hack 了。
对于 15 10
,显然答案为 \(8\),但是程序给出的结果为 \(3\)。
被 Hack 的结果是我只记录了末尾 \(1\) 位的数值,由于 \(14!\) 的末尾为 \(2\),所以 \((2\times 15)\ mod\ 10=3\)。
所以对于十进制来说,记录末尾 \(7\) 位就不会有问题了,但是对于 \(b\) 进制来说却远远不够,只能另寻他路。
下面是正解。
正解
终于要 BB 正解了
让我们假设 \(n!\) 的 \(b\) 进制表示的末尾并没有 \(0\)(即 \(n!\ mod\ b\neq 0\)),那么答案只要保留一位不断 \(mod\ b\) 即可。
虽然显然几乎不可能有这种情况发生,但是我们可以构造这种情况。
倘若我们把 \(n!\) 表示为 \(b^k\times a\),那么我们只需要求 \(a\) 的 \(b\) 进制表示的第一位即可(因为 \(a\ mod \ b\neq 0\))。
实现方法是将 \(b\) 质因数分解,然后将 \(n!\) 都质因数分解,将 \(b\) 的质因子减去殆尽即可。
具体看代码吧。
代码实现
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define N 20
using namespace std;
int n,b,tot[N],num[N];
int pri[N],cnt=0;
int prime[N]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
//B 的质因子只有这 10 中可能。
int read(){
int x=0,f=1;char c=getchar();
while(c<'0' || c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
while(c>='0' && c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();
return x*f;
}
int main(){
n=read(),b=read();
memset(tot,0,sizeof(tot));
memset(num,0,sizeof(num));
int bb=b;
for(int i=1;i<=10;i++){
if(bb%prime[i]!=0) continue;
pri[++cnt]=prime[i];//记录 B 的质因子的种类。
while(bb%prime[i]==0) bb/=prime[i],++num[cnt]; //记录 B 的质因子个数。
}
int ans=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
int now=i;
for(int j=1;j<=cnt;j++)
while(now%pri[j]==0)
now/=pri[j],++tot[j];//记录其中 B 的质因子的个数。
ans=(ans*now)%b;//剩余部分直接计算即可。
}
int z=0x3f3f3f3f;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
z=min(z,tot[i]/num[i]);
for(int i=1;i<=cnt;i++)
tot[i]-=num[i]*z;//将 B 的质因子减去殆尽。
for(int i=1;i<=cnt;i++)
for(int j=1;j<=tot[i];j++)
ans=(ans*pri[i])%b;//剩下的直接乘即可。
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
完结撒❀。
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