XJOI contest 1590

首先

热烈庆祝“CSP-S 2020全国开放赛前冲刺模拟训练题1”圆满结束！！！

感谢大毒瘤周指导的题目。题目还是很不错的，部分分设置的也比较合理，各种神仙随便 \(\text{AK}\) ，蒟蒻只能大呼 \(\text{NB}\) 。

Problem A

这是一道数学题。

根据周指导的题解中说明，这是一道数竞题目，但是由于我们是信竞，所以直接打一个暴力然后大胆的猜想一下就可以了。

发现这个数只能是 \(130\) 。

具体证明贴一下：

Problem B

这是一道神笔题。

我在考场上写了一个暴搜就可以过了。正解是构造 \(2\) 和 \(3\) 进制的格雷码。

所以暴搜不香吗？

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=15,MAXN=6e4+5;
int n,m,d,maxn;
struct Data{int loc[N];};
bool operator < (const Data a,const Data b)
{
	for(int i=1;i<=n;++i)
	if(a.loc[i]!=b.loc[i])
	return a.loc[i]<b.loc[i];
	return false;
}
map<Data,bool> mp;
Data way[MAXN];
bool dfs1(Data tmp,int now)
{
	if(now>=maxn)
	{
		for(int i=1;i<=maxn;++i)
		{
			for(int j=1;j<=n;++j)
			printf("%d ",way[i].loc[j]);
			printf("\n");
		}
		return true;
	}
	Data smp;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		smp=tmp,smp.loc[i]++;
		if(smp.loc[i]<m&&!mp[smp])
		{
			mp[smp]=true,way[now+1]=smp;
			if(dfs1(smp,now+1)) return true;
			mp[smp]=false;
		}
		smp=tmp,smp.loc[i]--;
		if(smp.loc[i]>=0&&!mp[smp])
		{
			mp[smp]=true,way[now+1]=smp;
			if(dfs1(smp,now+1)) return true;
			mp[smp]=false;
		}
	}
	return false;
}
void subtask1()
{
	Data tmp;
	for(int i=1;i<=n;++i) tmp.loc[i]=0;
	mp[tmp]=true,way[1]=tmp;
	dfs1(tmp,1);
}
bool dfs2(Data tmp[],int l,int r,int now)
{
	if(now>=maxn)
	{
		for(int i=1;i<=maxn;++i)
		{
			for(int j=1;j<=n;++j)
			printf("%d ",way[i].loc[j]);
			printf("\n");
		}
		return true;
	}
	Data smp[2];int L=l,R=r;
	if(now%2) R--;
	else L++;
	smp[(now%2)^1]=tmp[(now%2)^1];
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		smp[now%2]=tmp[now%2],smp[now%2].loc[i]++;
		if(smp[now%2].loc[i]<m&&!mp[smp[now%2]])
		{
			mp[smp[now%2]]=true;
			if(now%2) way[R]=smp[now%2];
			else way[L]=smp[now%2];
			if(dfs2(smp,L,R,now+1)) return true;
			mp[smp[now%2]]=false;
		}
		smp[now%2]=tmp[now%2],smp[now%2].loc[i]--;
		if(smp[now%2].loc[i]>=0&&!mp[smp[now%2]])
		{
			mp[smp[now%2]]=true;
			if(now%2) way[R]=smp[now%2];
			else way[L]=smp[now%2];
			if(dfs2(smp,L,R,now+1)) return true;
			mp[smp[now%2]]=false;
		}
	}
	return false;
}
void subtask2()
{
	Data tmp[2];
	for(int i=1;i<=n;++i) tmp[0].loc[i]=0;
	mp[tmp[0]]=true,way[1]=tmp[0];
	for(int i=1;i<=n;++i) tmp[1].loc[i]=m-1;
	mp[tmp[1]]=true,way[maxn]=tmp[1];
	dfs2(tmp,1,maxn,2);
}
int main()
{
//	freopen("B.in","r",stdin);
//	freopen("B.out","w",stdout);
	cin>>n>>m>>d,maxn=pow(m,n);
	if(n<=6||m==2) subtask1();
	else subtask2();
	return 0;
}

Problem C

这是一道结论题。

如果有度数小于等于3的点，就删掉这个点（和与它相关的边），先对于剩下的图构造一种方案，然后将这个点染成与他相邻的点中出现较少的颜色。

然后你发现用这个方法是可以直接过的，所以题目必定有解。

证明这个贪心周指导的题解里也很详细，贴一下：

然后在考场上有各种神仙用奇怪的随机化贪心过去了，还有什么先 \(\text{DFS}\) 再 \(\text{BFS}\) 的神仙。我乱搞能力还是太弱……

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5,M=2e5+5;
int n,m;
//map<pair<int,int>,bool> mp;
struct Edge{int nxt,to;}e[M<<1];int fir[N];
void add(int u,int v,int i){e[i]=(Edge){fir[u],v},fir[u]=i;}
int deg[N],clr[N];
bool tag[N];
queue<int> q;
vector<int> ord;
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1,u,v;i<=m;++i)
	{
		scanf("%d%d",&u,&v);
//		if(mp[make_pair(u,v)]) continue;
//		mp[make_pair(u,v)]=mp[make_pair(v,u)]=true;
		add(u,v,i<<1),add(v,u,i<<1|1);
		deg[u]++,deg[v]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
	if(deg[i]<=3) q.push(i),tag[i]=true;
	while(!q.empty())
	{
		int tmp=q.front();q.pop();
		ord.push_back(tmp);//updata
		for(int i=fir[tmp];i;i=e[i].nxt)
		{
			deg[e[i].to]--;
			if(deg[e[i].to]<=3&&!tag[e[i].to])
			q.push(e[i].to),tag[e[i].to]=true;
		}
	}
	for(int i=ord.size()-1;i>=0;--i)
	{
		int cnt1=0,cnt2=0;
		for(int j=fir[ord[i]];j;j=e[j].nxt)
		cnt1+=(clr[e[j].to]==1),cnt2+=(clr[e[j].to]==2);
		if(cnt1<cnt2) clr[ord[i]]=1;
		else clr[ord[i]]=2;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",clr[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}

Problem D

这是一道套路题。

我考场上的思路是这样的，考虑我们对于一个合法的序列，如果我们交换其中两行或者两列的位置，他肯定是依旧合法的。

然后我大胆的猜测，所有的合法序列最终都一定可以变成左上方都是黑色，右下方都是白色的方案。然后我举了几个合法序列发现都对了……

然后题目就变成了问你对于所有用一条路径分割开整个矩形的方案数同时去除其中的可交换项的重复计数后的总方案数。

然后写了一个 \(O(n^3)\) 的 \(\text{DP}\) 。但是由于忘记预处理逆元了，挂了 \(20pts\) 。

考完发现自己结论是猜对的，证明贴一下：

然后发现这个东西就是斯特林数乘上一个阶乘，是可以 \(O(n^2)\) 求的（虽然我现在还不是很会）。然后用一个多项式乘法就可以满分了（我不会）。

\(70pts\) 代码如下;

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Lint long long
const int N=2005;
const Lint MOD=998244353;
int n,m;
Lint fac[N];
Lint f[N][N][2];
Lint sum[N][N][2];
inline int ksm(Lint x,int k)
{
	Lint res=1;
	for(;k;k>>=1,x=x*x%MOD)
	if(k&1)res=res*x%MOD;
	return res;
}
int main()
{
	cin>>n>>m,fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=max(n,m);++i) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
	f[0][0][0]=f[0][0][1]=fac[n]*fac[m]%MOD;
	for(int i=1;i<=max(n,m);++i) fac[i]=ksm(fac[i],MOD-2);
	for(int i=0;i<=n;++i)
	{
		for(int j=0;j<=m;++j)
		{
			for(int k=0;k<i;++k)
			f[i][j][0]+=f[k][j][1]*fac[i-k]%MOD,f[i][j][0]%=MOD;
			for(int k=0;k<j;++k)
			f[i][j][1]+=f[i][k][0]*fac[j-k]%MOD,f[i][j][1]%=MOD;
//			printf("%d %d %lld %lld\n",i,j,f[i][j][0],f[i][j][1]);
		}
	}
	printf("%lld\n",(f[n][m][0]+f[n][m][1])%MOD);
	return 0;
}