题解-Sakuya's task

题面

Sakuya's task

\[\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \varphi(\gcd(i,j))\right)\bmod 10^9+7
\]

数据范围：\(1\le n\le 10^{10}\)。

---

蒟蒻语

考场爆零真开森。

本来以为要卷 \(1*1\)，没想到真要卷 \(1*1\)，只不过要一个一个卷……

考场上还以为要洲阁 \(\tt Min\_25\)。

---

正解

先莫反操作一发：

\[\begin{split}
&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \varphi(\gcd(i,j))\\
=&\sum_{d=1}^n \varphi(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\epsilon(\gcd(i,j))\\
=&\sum_{d=1}^n\varphi(d)\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(k)\lfloor\frac{n}{dk}\rfloor^2\\
=&\sum_{T=1}^n\lfloor\frac{n}{T}\rfloor^2\sum_{d|T}\varphi(d)\mu(\frac{T}{d})\\
\end{split}
\]

整除分块左边，右边杜教。

第一次杜教：\(f_1=\varphi\)，\(g_1=1\)，\(f_1*g_1=id\)。

第二次杜教：\(f_2=\varphi*\mu\)，\(g_2=1\)，\(f_2*g_2=\varphi=f_1\)。

求 \(f_2\) 会多次调用 \(f_1\)，但是内部调用的函数 \(x\) 集相等，所以可以一起求：

//Dusieve
bool vis[iN+1];
int duphi[iN+1],dupm[iN+1];
int Phi(ll x){return x<=N?phi[x]:duphi[n/x];}
int Pm(ll x){return x<=N?pm[x]:dupm[n/x];}
void Dusieve(ll x){
	if(x<=N||vis[n/x]) return;
	vis[n/x]=true;
	for(ll l=2,r;l<=x;l=r+1){
		r=x/(x/l),Dusieve(x/l);
		(duphi[n/x]-=(ll)(r-l+1)*Phi(x/l)%mod)%=mod;
		(dupm[n/x]-=(ll)(r-l+1)*Pm(x/l)%mod)%=mod;
	}
	(duphi[n/x]+=(ll)x%mod*(x%mod+1)/2%mod)%=mod;
	(dupm[n/x]+=duphi[n/x])%=mod;
	(duphi[n/x]+=mod)%=mod,(dupm[n/x]+=mod)%=mod;
}

还有个问题：怎么线性筛 \(\varphi*\mu\)？

其实可以狄利克雷前缀和一下，但是这里有个更妙的方法：

\(\mu\) 与 \(\varphi\) 为积性，\(\varphi*\mu\) 必为积性。

根据 \(\mu\) 函数的性质与找规律可得：

\[(\varphi*\mu)(1)=1\\
(\varphi*\mu)(p)=p-2\\
(\varphi*\mu)(p^2)=p(\varphi*\mu)(p)+(\varphi*\mu)(1)\\
(\varphi*\mu)(p^3)=p(\varphi*\mu)(p^2)\\
\]

然后根据积性函数性质，就可以线性筛了。

时间复杂度 \(\Theta(n^{\frac{2}{3}})\)。

---

代码

取模坑死蒟蒻，细节会有注释。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define x first
#define y second
#define be(a) a.begin()
#define en(a) a.end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int mod=1e9+7;
ll n; int ans;

//Sieve
const int N=1e7,iN=1e3;
bool np[N+1];
int phi[N+1],pm[N+1],cnt,p[N];
void Sieve(){
	np[1]=true,phi[1]=pm[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!np[i]) p[cnt++]=i,phi[i]=i-1,pm[i]=i-2;
		for(int j=0;j<cnt&&i*p[j]<=N;j++){
			np[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				phi[i*p[j]]=(ll)phi[i]*p[j]%mod;
				if((i/p[j])%p[j]==0) pm[i*p[j]]=(ll)pm[i]*p[j]%mod;
				else pm[i*p[j]]=((ll)pm[i]*p[j]+pm[i/p[j]])%mod;
				break;
			}
			phi[i*p[j]]=(ll)phi[i]*phi[p[j]]%mod;
			pm[i*p[j]]=(ll)pm[i]*pm[p[j]]%mod;
		}
	}
	for(int i=2;i<=N;i++)
		(phi[i]+=phi[i-1])%=mod,(pm[i]+=pm[i-1])%=mod;
}

//Dusieve
bool vis[iN+1];
int duphi[iN+1],dupm[iN+1];
int Phi(ll x){return x<=N?phi[x]:duphi[n/x];}
int Pm(ll x){return x<=N?pm[x]:dupm[n/x];}
void Dusieve(ll x){
	if(x<=N||vis[n/x]) return;
	vis[n/x]=true;
	for(ll l=2,r;l<=x;l=r+1){
		r=x/(x/l),Dusieve(x/l);
		(duphi[n/x]-=(ll)(r-l+1)*Phi(x/l)%mod)%=mod;
		(dupm[n/x]-=(ll)(r-l+1)*Pm(x/l)%mod)%=mod;
	}
	(duphi[n/x]+=(ll)x%mod*(x%mod+1)/2%mod)%=mod;
	(dupm[n/x]+=duphi[n/x])%=mod;
	(duphi[n/x]+=mod)%=mod,(dupm[n/x]+=mod)%=mod;
}

//Main
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	Sieve(),Dusieve(n);
	// cout<<Pm(n)<<'\n';
	for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){
		r=n/(n/l);
		(ans+=(ll)(n/l%mod)*(n/l%mod)%mod*(Pm(r)-Pm(l-1)+mod)%mod)%=mod;
		/*
		杜教筛是在开始整除分块前开始的，但是为什么这里可以直接Pm调用呢？
		蒟蒻的回答：因为杜教筛内部处理了所有n的整除分块的答案。
		*/
	}
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}

---

祝大家学习愉快！