cdq分治 笔记

算法讲解

这个算法用于解决三维偏序问题。

三维偏序：给定 \(n\) 个三元组： \((a_i,b_i,c_i)\)，求同时满足满足 \(a_i\le a_j,b_i\le b_j,c_i\le c_j\) 的 \((i,j)\) 的数量。

那这该咋求呢⊙(・◇・)？

先把维度降下来，二维偏序，会不会做？就是求多少个 \((i,j)\) 满足 \(a_i\le a_j,b_i\le b_j\)。

显然，先按照 \(a\) 排一下序。然后就变成了 \(i<j,b_i\le b_j\) 的问题了。可以用树状数组做。最典型的案例就是逆序对问题，这个都写熟练了哈(*╹▽╹*)

三维偏序的问题，也是先按 \(a\) 排一下序。然后接下来的问题考虑分治（这样的分治过程被我们称为“cdq分治”）

假设我们要求 \([l,r]\) 中的答案。已经求好了 \([l,mid],[mid+1,r]\) 中的答案，现在只需要考虑跨区的答案了。

那么我们可以把 \([l,mid]\) 和 \([mid+1,r]\) 内部都按照 \(b\) 排序。因为我们只要考虑跨区的答案，那么我们把两边分别都随便排序，对跨区的时候 \(a\) 的大小关系没有影响。然后我们在 \([mid+1,r]\) 中枚举一个元素 \(j\)，找到在 \([l,mid]\) 中有多少个 \(i\) 满足 \(b_i\le b_j\)，然后这个 \(i\) 显然是递增的。然后我们一边单调的维护这个 \(i\) ，一边用树状数组维护 \(c_i\le c_j\) 的数量即可。

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洛谷3810 陌上花开

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