状压DP之互不侵犯

题目描述

这里

在\(N*N\) 的棋盘里面放\(k\)个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

输入格式

只有一行，包含\(N,K\)两个数 。

输出格式

所得方案数。

样例

样例输入

3 2

样例输出

16

思路

我们可以想到，对于当前行的影响有当前行的状态，上一行的状态（因为国王的攻击范围可以从上一行包括到这一行），以及当前行的国王数，那么我们可以用一个三维数组\(f[n][k][1<<n-1]\),用来代表第一维代表前\(i\)行（\(1<i<=n\)）,第二维代表在前\(i\)行放\(j(0<=j<=k)\)个国王，第三维代表第\(i\)行的状态，对于f数组的初始化，只需要将\(f[0][0][0]\)初始化为1即可;

对于上一行的判断，我们现在用S表示当前行状态，用s表示上一行状态，那我们就有\(if(S&s || (S<<1)&s || (S>>1)&s)continue\),显然，我们还应该对当前行以及上一行进行判断（当前行和上一行的国王不能），显然有\(if((s<<1)&s)continue\),\(if((S>>1)&S)continue\);

对于当前行的状态我们有\(f[i][j][S]+=f[i-1][j-Q(S)][s]\)（Q函数用来求改状态下的国王个数，即1的个数，需要用到lowbit）。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=(1<<9)-1;
long long f[10][100][maxn];
int lowbit(int x){
	return x&-x;
}
int Q(int x){
	int cnt=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i))cnt++;
	return cnt;

}
int main(){
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	int maxs=1<<n;
	f[0][0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){//枚举每一行
		for(int S=0;S<maxs;S++){//枚举当前行状态
			if((S>>1)&S)continue;
			for(int s=0;s<maxs;s++){//枚举上一行的状态
				if((s<<1)&s)continue;//去掉上一行排斥情况（可以无）
				if(S&s || (S<<1)&s || (S>>1)&s)continue;//去掉当前行去上一行冲突情况
				for(int j=Q(S);j<=k;j++){//枚举前i行的国王个数
					f[i][j][S]+=f[i-1][j-Q(S)][s];
				}
			}
		}
	}
	long long ans=0;
	for(int i=0;i<=maxs;i++){
		ans+=f[n][k][i];
	}
	cout<<ans;

}