3170: [Tjoi2013]松鼠聚会

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Description

有N个小松鼠，它们的家用一个点x,y表示，两个点的距离定义为：点(x,y)和它周围的8个点即上下左右四个点和对角的四个点，距离为1。现在N个松鼠要走到一个松鼠家去，求走过的最短距离。

Input

第一行给出数字N，表示有多少只小松鼠。0<=N<=10^5
下面N行，每行给出x,y表示其家的坐标。
-10^9<=x,y<=10^9

Output

表示为了聚会走的路程和最小为多少。

Sample Input

6
-4 -1
-1 -2
2 -4
0 2
0 3
5 -2

Sample Output

20

 

非常经典的高中数学证明题

首先要知道两个公式：

max{a,b}=(|a+b|+|a-b|)/2

||a|+|b||+||a|-|b||=|a+b|+|a-b|

\[ans=\sum ^{n}_{j=1} |(x_{i}+y_{i})-(x_{j}+y_{j})|+|(x_{i}-y_{i})-(x_{j}-y_{j})|\]

绝对值可以用排序满足条件

设X=xi+yi，Y=xi-yi

对X进行排序，再计算X前缀和f[i]

上述|(xi+yi)-(xj+yj)|=(i-1)*Xi-f[i-1]+f[n]-f[i]-(n-i)*Xi=i*Xi-f[i]+f[n]-f[i]-(n-i)*Xi

Y同理，|(xi-yi)-(xj-yj)|=(i-1)*Yi-f[i-1]+f[n]-f[i]-(n-i)*Yi=i*Yi-f[i]+f[n]-f[i]-(n-i)*Yi

最后统计两者之和，取最小值就是答案

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define LL long long
 
 const LL INF=0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
 const int MAXN=;
 struct Point
 {
     LL x,y,ans;
 }P[MAXN];
 
 LL n,ans=INF;
 LL f[MAXN];
 
 bool cmpx(Point A,Point B){return A.x<B.x;}
 bool cmpy(Point A,Point B){return A.y<B.y;}
 
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int x,y;
         scanf("%d%d",&x,&y);
         P[i].x=x+y;
         P[i].y=x-y;
     }
     sort(P+,P+n+,cmpx);
     for(int i=;i<=n;i++) f[i]=f[i-]+P[i].x;
     for(int i=;i<=n;i++)
         P[i].ans+=i*P[i].x-f[i]+f[n]-f[i]-(n-i)*P[i].x;
     sort(P+,P+n+,cmpy);
     for(int i=;i<=n;i++) f[i]=f[i-]+P[i].y;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         P[i].ans+=i*P[i].y-f[i]+f[n]-f[i]-(n-i)*P[i].y;
         if(P[i].ans<ans) ans=P[i].ans;
     }
     cout<<(ans>>);
     return ;
 }