【BZOJ1045】糖果传递（基于贪心的数学题）

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大致题意： 有\(n\)个小朋友坐成一圈，每人有\(a[i]\)个糖果。每人只能给左右两人传递糖果，传递一个糖果代价为1，求使所有人获得均等糖果的最小代价。

数学转换

这题其实是一道带有浓厚数学色彩的贪心题。

我们可以先用\(sum\)来统计\(a[i]\)之和，然后将\(sum\)除以\(n\)，从而求出最后每个小朋友应该拥有的糖果的个数。

我们可以用\(s[i]\)来表示第\(i\)个人给第\(i+1\)个人的糖果数量（如果为负，表示第\(i+1\)个人给第\(i\)个人\(-s[i]\)颗糖果），特殊的，\(s[n]\)表示第\(n\)个人给第\(1\)个人的糖果数量。

我们可以发现，对于第\(i\)个人，他的手上拿着的糖果数应为\(a[i]+s[i-1]\)，即他原本拥有的糖果和第\(i-1\)个人给他的糖果，又由于每个人应拿的糖果数为\(sum\)，所以\(a[i]+s[i-1]-sum\)即为他要交给第\(i+1\)个人的糖果数。

即\(s[i]=a[i]+s[i-1]-sum\)。

那么$$ans=sum_{i=1}^n |s[i]-S|$$

其中，\(S\)为一个定值。而我们的目的就是取一个合适的\(S\)使\(ans\)最小。

如何求解

那么，这道题目就变成了一个我们很熟悉的一个经典数学问题了，我们可以将\(s[1]\sim s[n]\)一一对应到数轴上，不难发现，最优的\(S\)应为\(s\)数组的中位数。

这样一来，这题就很简单了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) (x>y?x:y)
#define min(x,y) (x<y?x:y)
#define LL long long
#define N 1000000
using namespace std;
int n,a[N+5],s[N+5];
int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if(ch=='-') f=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') (x*=10)+=ch-'0',ch=getchar();
	return x*=f;
}
void write(LL x)
{
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int main()
{
	n=read();
	LL sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) sum+=(a[i]=read());//用sum计算出总糖果数
	sum/=n;//将sum除以n，得出每个人应拿的糖果数
	for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=a[i]+s[i-1]-sum;//递推求出s[]数组
	sort(s+1,s+n+1);//排序一遍，找出中位数
	LL ans=0;//ans统计答案
	for(int i=1;i<=n;i++) ans+=abs(s[i]-s[(n+1)>>1]);//求出Σ|s[i]-S|，其中S为s[]数组的中位数，即s[(n+1)>>1]
	return write(ans),0;
}