luogu1641 [SDOI2010]生成字符串
题目大意
把$n$个$1$和$m$个$0$组成字符串,在任意的前$k$个字符中,$1$的个数不能少于$0$的个数。求这样的字符串的个数。$1\leq m\leq n\leq 1000000$。
原始模型
在坐标网格中,规定一个合法的路径如下:1. 起点为$(0, 0)$,终点为$(n, m)$;2. 该路径是个曼哈顿路径;3. 该路径在直线$l:y=x$的下方,且不接触$l$。求合法的路径的种类数。
这类题的入手点在于:所有合法的路径都会经过点$(1,0)$,起点为$(1,0)$终点为$(n,m)$的曼哈顿路径数为$C_{n+m-1}^m$。而我们要在此基础上去除掉中途经过直线$l$的种类数。我们知道,起点为$(0,1)$,终点为$(n,m)$的曼哈顿路径(设组成的集合为$A$)一定经过直线$l$,这个交点最小可以到达$(1,1)$。而所有经过$(1,0)$且不合法的路径(设组成的集合为$B$)必然也经过直线$l$,交点最小为$(1,1)$,所以对于任意一条路径$p\in B$,如果$p'$是$p$把$(0,0)$至与$l$最后一个交点的部分按照直线$l$翻折得到的路径,则$p'\in A$。同理可得$A,B$满足一一映射关系。对于$\forall p'\in A$,其必须要向上走$m-1$步,总共要走$n+m-1$步,所以不合法的情况为$C_{n+m-1}^{m-1}$
综上所述,结果为$C_{n+m-1}^m - C_{n+m-1}^{m-1}$
本题题解
选1相当于向右走一格,选0相当于向上走一格,原先的条件便变成了可接触$l$。咱们把$y=x$改为$y=x+1$,同理可得答案为$C_{n+m}^m - C_{n+m}^{m-1}$。用预处理阶乘、乘法逆元、组合数通项公式等即可求解。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std; #define ll long long
const int MAX_N = 2000010;
const ll P = 20100403;
ll Fact[MAX_N]; void GetFact()
{
Fact[1] = 1;
for (int i = 2; i < MAX_N; i++)
Fact[i] = Fact[i - 1] * i % P;
} ll Mult(ll a, ll b)
{
ll ans = 0;
while (b)
{
if (b & 1)
ans = (ans + a) % P;
a = (a + a) % P;
b >>= 1;
}
return ans;
} ll Power(ll a, ll n)
{
ll ans = 1;
while (n)
{
if (n & 1)
ans = Mult(ans, a);
a = Mult(a, a);
n >>= 1;
}
return ans;
} ll Inv(ll x)
{
return Power(x, P - 2);
} ll C(int n, int r)
{
return Fact[n] * Inv(Fact[r] * Fact[n - r] % P) % P;
} int main()
{
GetFact();
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
printf("%lld\n", ((C(m + n, m) - C(m + n, m - 1)) % P + P) % P);
return 0;
}
luogu1641 [SDOI2010]生成字符串的更多相关文章
- Luogu1641 SCOI2010生成字符串(组合数学)
NOI2018冒泡排序的一个子问题. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include< ...
- C# 生成字符串的 CheckSum
C# 生成字符串的 CheckSum private static string CheckSum(string message) { char[] chars = message.ToCharArr ...
- [SCOI2010]生成字符串
题目描述 lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务,任务需要他把n个1和m个0组成字符串,但是任务还要求在组成的字符串中,在任意的前k个字符中,1的个数不能少于0的个数.现在lxhgww想要知道满足 ...
- c# .Net随机生成字符串代码
/// <summary> /// 随机生成字符串 /// </summary> /// <param name="OperationType"> ...
- [SCOI2010]生成字符串 题解(卡特兰数的扩展)
[SCOI2010]生成字符串 Description lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务,任务需要他把n个1和m个0组成字符串,但是任务还要求在组成的字符串中,在任意的前k个字符中,1的个数 ...
- RandomStringUtils工具类(java随机生成字符串)
使用RandomStringUtils可以选择生成随机字符串,可以是全字母,全数字,自定义生成字符等等... 其最基础的方法: 参数解读: count:需要生成的随机串位数 letters:只要字母 ...
- P1641 [SCOI2010]生成字符串
P1641 [SCOI2010]生成字符串 题目描述 lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务,任务需要他把n个1和m个0组成字符串,但是任务还要求在组成的字符串中,在任意的前k个字符中,1的个数不 ...
- java代码中fastjson生成字符串和解析字符串的方法和javascript文件中字符串和json数组之间的转换方法
1.java代码中fastjson生成字符串和解析字符串的方法 List<TemplateFull> templateFulls = new ArrayList<TemplateFu ...
- BZOJ1856 [SCOI2010]生成字符串 【组合数】
题目 lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务,任务需要他把n个1和m个0组成字符串,但是任务还要求在组成的字符串中,在任意的前k个字符中,1的个数不能少于0的个数.现在lxhgww想要知道满足要求 ...
随机推荐
- MySQL学习笔记(十二)__连接查询(一)
连接查询含义:又称多表查询,当查询的字段来自多个表时,就会用到连接查询 笛卡尔乘积现象:表1 有 m 行,表2 有 n 行,结果 = m*n 行发生原因:没有有效的连接条件如何避免:添加有效的连接条件 ...
- DropDownList 递归绑定分子公司信息
/// <summary> /// 绑定下拉框 /// </summary> /// <param name="ddl">绑定控件名称</ ...
- CAD绘制单行文字(网页版)
在CAD设计时,需要绘制文字,用户可以设置设置绘制文字的高度等属性. 主要用到函数说明: _DMxDrawX::DrawText 绘制一个单行文字.详细说明如下: 参数 说明 DOUBLE dPosX ...
- CAD绘制多行文字
在CAD设计时,需要绘制多行文字,用户可以设置设置绘制文字的高度等属性. 主要用到函数说明: _DMxDrawX::DrawMText 绘制一个多行文字.详细说明如下: 参数 说明 DOUBLE dP ...
- 【 jquery 】常用
$("#input1").show('slide'); 渐进显示$("#input1").hide('slide'); 渐进隐藏 siblings ...
- node事件循环和消息队列简单分析
node的好处毋庸置疑,事件驱动,异步非阻塞I/O,以及处理高并发的能力深入人心,因此大家喜欢用node做一些小型后台服务或者作为中间层和其他服务配合完成一些大型应用场景. 什么是异步? 异步和同步应 ...
- 关押罪犯 - 并查集&优先队列
题目地址:http://www.51cpc.com/web/problem.php?id=4261 Summarize: 此题最巧妙的是“敌人的敌人就是朋友!”,故需先将敌对关系放入优先队列,按怨恨值 ...
- <MyBatis>入门五 查询的返回值处理
select : 返回对象: <select id = " " resultType= "对象的全类名" /> List: <sele ...
- Go:闭包
闭包就是一个函数和与其相关的引用环境组合的一个整体(实体). package main import "fmt" func add() func(int) int { i := 0 ...
- 初遇Java
什么是JVM?JVM是java虚拟机(JVM Java Virtual Machine),java程序需要运行在虚拟机上,不同平台有自己的虚拟机,因此java语言可以跨平台. 什么是JRE?包括Jav ...