Maximum Gap 典型线性排序

https://leetcode.com/problems/maximum-gap/

Given an unsorted array, find the maximum difference between the successive elements in its sorted form.

Try to solve it in linear time/space.

Return 0 if the array contains less than 2 elements.

You may assume all elements in the array are non-negative integers and fit in the 32-bit signed integer range.

解题思路：

看到题目，几个关键的信息。未排序、线性的时间和空间。

要计算相邻数字的最大gap，还要O(n)时间解决，能想到的就是先排序，然后遍历一遍返回最大值。于是，常见的线性排序，或者说《算法导论》里提到的，计数排序、基数排序和桶排序。

于是先写了下面的计数排序方法，不过是当作每个元素只出现一次对待的，因为题目算的是gap，多个相同的数字完全可以当作一个 数字看待。

public class Solution {
    public int maximumGap(int[] num) {
        if(num.length < 2) {
            return 0;
        }

        int min = Integer.MAX_VALUE;
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i = 0; i < num.length; i++) {
            min = Math.min(min, num[i]);
            max = Math.max(max, num[i]);
        }

        int[] numSort = new int[max - min + 1];
        for(int i = 0; i < num.length; i++) {
            numSort[num[i] - min] = num[i];
        }

        int maxGap = 1;
        int pre = numSort[0], cur = numSort[0];
        for(int i = 1; i < numSort.length; i++) {
            if(numSort[i] == 1) {
                cur = numSort[i];
                maxGap = Math.max(maxGap, cur - pre);
                pre = cur;
            }
        }

        return maxGap;
    }
}

结果遇到[2,99999999]这个例子的时候，内存溢出了，因为在创建那个numSort数组的时候，太大。

其实上面的计数排序就是一个鸽笼排序（Pigeonhole sort），即每个数字只会出现一次的计数排序。标准的计数排序中，记录每个数字出现次数的数组，大小也是必须为max - min + 1的，因为你没法知道在他们中间有多少数字。所以说，用计数排序，这个问题无法避免。只能另寻方法。

既然是因为两个数字相差太大，实际上并没有必要用那么大的数组，那么能不能以最小数字min为基础，用num[i]和min的差去除以平均的差，来确定当前数字可能在位置？

其实这就是桶排序。上面说了，计数排序最好是，所有数字在一个比较小的范围内。那么桶排序也要一个前提，就是所有数字最好尽量随机分散，不能太聚合。这样，他们才能被分散在每个桶里面，每个桶只有很少的数字，甚至0或1个，这个算法效率最高。

思路出来了，但是还有几个细节需要考虑。

1. 这个平均差（也就是桶的大小bucketSize），如何取？

对于一个有n个数字的数组，我们先取出最大数max，最小数min。因为总共有n - 1个gap，所以平均差为(max - min) / (n - 1)。注意，这个数字应该是一个精确值，也就是一个double。为什么？因为平均差可能是0.4，比如数字很多，但是相差却很小。为了避免平均差为0，这里必须取精确的double，或者对(max - min) / (n - 1)取ceil，也就是向上取整。注意不能取floor，否则平均差《1的时候，就变成0了。

2. 根据平均差，每个数字所在桶的下标如何计算？

每个数字的下标必须以min为底计算，(num[i] - min) / bucketSize，再对它取floor。这样，把每个数字向下归到了每个桶里。注意，在这里用ceil也是可以的，也就是向上归到每个桶里！

这样，min的下标为0，max的下标为n - 1。桶的大小和原数组一样，为n。

3. 最大gap如何计算？

因为有n个数字，n个桶。假设每个数字平均分在每个桶里。那么我们只需要逐一计算各个桶里唯一数字的差，返回最大值即可。

假设有一个或多个桶里的数字>1个，那么必然有一个桶里没数字，那么最大差一定在这个空桶周围发生，一定不在那个有多个数字的桶里。所以这时，我们只需要维护每个桶内数字的最大值和最小值。然后，用前一个桶的最大值和后一个桶的最小值比较，返回最大差即可。

回想第一种情况，在每个桶里有且仅有一个数字的情况，我们只要将最大值和最小值都设置为这个数值，然后用同样的方法计算，既可以返回最大差了。

代码如下。

public class Solution {
    public int maximumGap(int[] num) {
        if(num.length < 2) {
            return 0;
        }
        if(num.length == 2) {
            return Math.abs(num[0] - num[1]);
        }

        int min = Integer.MAX_VALUE;
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i = 0; i < num.length; i++) {
            min = Math.min(min, num[i]);
            max = Math.max(max, num[i]);
        }

        double bucketSize = (double)(max - min) / (num.length - 1);
        int[][] buckets = new int[num.length][2];
        for(int i = 0; i < num.length; i++) {
            int k = (int)Math.floor((double)(num[i] - min) / bucketSize);
            if(buckets[k][0] == 0) {
                buckets[k][0] = num[i];
            } else {
                buckets[k][0] = Math.min(buckets[k][0], num[i]);
            }
            if(buckets[k][1] == 0) {
                buckets[k][1] = num[i];
            } else {
                buckets[k][1] = Math.max(buckets[k][1], num[i]);
            }
        }

        int maxGap = 0;
        int preMax = 0;
        for(int i = 0; i < buckets.length; i++) {
            if(buckets[i][0] == 0 && buckets[i][1] == 0) {
                continue;
            }
            if(preMax == 0) {
                preMax = buckets[i][1];
                continue;
            }
            maxGap = Math.max(maxGap, buckets[i][0] - preMax);
            preMax = buckets[i][1];
        }

        return maxGap;
    }
}

bucketSize用ceil去做：

public class Solution {
    public int maximumGap(int[] num) {
        if(num.length < 2) {
            return 0;
        }
        if(num.length == 2) {
            return Math.abs(num[0] - num[1]);
        }

        int min = Integer.MAX_VALUE;
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i = 0; i < num.length; i++) {
            min = Math.min(min, num[i]);
            max = Math.max(max, num[i]);
        }

        int bucketSize = (int)Math.ceil((double)(max - min)/(num.length - 1));
        // 或者下面的方法也可以
        // int bucketSize = (max - min)/num.length+ 1;
        int[][] buckets = new int[num.length][2];
        for(int i = 0; i < num.length; i++) {
            int k = (num[i] - min) / bucketSize;
            if(buckets[k][0] == 0) {
                buckets[k][0] = num[i];
            } else {
                buckets[k][0] = Math.min(buckets[k][0], num[i]);
            }
            if(buckets[k][1] == 0) {
                buckets[k][1] = num[i];
            } else {
                buckets[k][1] = Math.max(buckets[k][1], num[i]);
            }
        }

        int maxGap = 0;
        int preMax = 0;
        for(int i = 0; i < buckets.length; i++) {
            if(buckets[i][0] == 0 && buckets[i][1] == 0) {
                continue;
            }
            if(preMax == 0) {
                preMax = buckets[i][1];
                continue;
            }
            maxGap = Math.max(maxGap, buckets[i][0] - preMax);
            preMax = buckets[i][1];
        }

        return maxGap;
    }
}

总结一下，这道题的考点主要在线性时间的几种算法，前面也总结了他们的优劣和适用情况。实际上计数排序常被作为基数排序的一个子方法来采用，也就是对某一位数字进行排序的时候，因为某一位数字的区间只有[0, 9]，符合计数排序范围不大的前提。

在桶排序的时候，每个桶的内部排序常常使用插入排序，因为我们假定采用桶排序的数字，是比较分散的，这样落在每个桶里的数字就比较少。在数字比较少的时候，插入排序是比较快的。桶排序的平均时间复杂度为O(n)，最坏也可能达到O(n^2)，这取决于每个桶内的排序方法。但是，就像《算法导论》上面说的那样，桶排序的时间复杂度的数学预期是O(n)。

回到这道题目，我们看到因为要求的是max gap，所以无需对每个桶内部进行排序，只要维护每个桶各自的最大值和最小值即可。

最后，这道题桶排序的bucket size，bucket的大小，以及如何取bucket的下标，都是需要注意小心操作的。所谓talk is cheap, show me the code，即使知道思路，能写出bug-free的code也是不容易的。

最后给一个mcgill大学的课件，和本题很像。他去除了最大值和最小值，用抽屉原理实现推导，思路也是差不多。

http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/teaching/dm-reading-assignments/Maximum-Gap-Problem.pdf

另外还有一个介绍桶排序的文章：http://hxraid.iteye.com/blog/647759