\(\\\)

\(Description\)


给出一个长度为\(N\)的序列\(A[1]...A[N]\),定义一个合法区间 \([L,R]\) 当且仅当区间\(GCD\) 在这个区间内,求最长合法区间长度。

  • \(N\in [1,4\times 10^{6}]\)

\(\\\)

\(Solution\)


考虑以每一个数作为区间\(GCD\)的答案\((\)下面称作“中心”\()\),答案区间画在数轴上是什么样的。

一定是由若干个大区间,然后一些小区间都被大区间完全包含,大区间有交,但是都不会越过中心。

只考虑一个位置\(i\)到它右边的数所构成的合法区间。

假如他的右区间可以扩展到\(j\),那么这\(j-i\)个数的右端点一定\(\le\ i\) 处的答案。

因为显然这\(j-i\) 个数字都是 \(i\) 的倍数,若他们还能向右扩展,则 \(i\) 的答案也能向右扩展。

显然从每一个位置向右扩展复杂度是\(N^2\)的,但是考虑这\(j-i\)个点的左端点显然不会越过\(i\),右端点答案显然不会越过\(i\) 对应的右端点,所以直接把这些点的右端点设为\(i\) 的右端点并不会出锅。

正反扫描一遍区间长度取 \(max\) 就是答案。

\(\\\)

\(Code\)


  1. #include<cmath>
  2. #include<cstdio>
  3. #include<cctype>
  4. #include<cstdlib>
  5. #include<cstring>
  6. #include<iostream>
  7. #include<algorithm>
  8. #define R register
  9. #define gc getchar
  10. #define N 4000010
  11. using namespace std;
  12. typedef long long ll;
  13. inline ll rd(){
  14. ll x=0; bool f=0; char c=gc();
  15. while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  16. while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  17. return f?-x:x;
  18. }
  19. ll n,a[N];
  20. int res,ans[N];
  21. int main(){
  22. n=rd();
  23. for(R int i=1;i<=n;++i) a[i]=rd();
  24. for(R int i=1,r=1;i<=n;++i){
  25. if(r<i) r=i;
  26. while(r<n&&a[r+1]%a[i]==0) ++r;
  27. ans[i]=r;
  28. }
  29. for(R int i=n,l=n;i>0;--i){
  30. if(l>i) l=i;
  31. while(l>1&&a[l-1]%a[i]==0) --l;
  32. res=max(res,ans[i]-l+1);
  33. }
  34. printf("%d",res);
  35. return 0;
  36. }

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