洛谷 P2261 [CQOI2007]余数求和 解题报告
P2261 [CQOI2007]余数求和
题意:
求\(G(n,k)=\sum_{i=1}^n k \ mod \ i\)
数据范围:
\(1 \le n,k \le 10^9\)
\(G(n,k)\)
\(=\sum_{i=1}^n k-i*\lfloor \frac{k}{i} \rfloor\)
\(=n*k-\sum_{i=1}^n i*\lfloor \frac{k}{i} \rfloor\)
显然,\(\lfloor \frac{k}{i} \rfloor\)的分布可能会有重复。
根据除法分块(别在意它只是一个名字),这些值不重复的个数大约是\(\sqrt k\)
我们只需要统计每一块的值即可,注意到值在区间上的出现是单调递增的。
如果我们得到某一块最开始的下标\(l\)(可以从上一块的\(r\)得到),如何推得这一块的\(r\)呢?
其实很简单,\(\frac{k}{l}\)的余数是最大的,而\(\frac{k}{r}\)的余数显然得为0
设\(t=\frac{k}{l}\),则\(r=\frac{k}{t}\)
加上不能越界的判断,完整的即为
\(if \ t==0\)
\(r=n\)
\(else\)
\(r=min(n,\frac{k}{t})\)
对每一块直接统计即可
Code:
#include <cstdio>
#define ll long long
ll min(ll x,ll y){return x<y?x:y;}
ll k,ans,n,l,r,t;
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&k);
ans=n*k;
l=1;
while(r!=n)
{
ll t=k/l;
if(!t) r=n;
else r=min(n,k/t);
ans-=(r+1-l)*(l+r)*t/2;
l=r+1;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
2018.7.23
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