题目背景

国王1带大家到了数字王国的中心:三角圣地。

题目描述

不是说三角形是最稳定的图形嘛,数字王国的中心便是由一个倒三角构成。这个倒三角的顶端有一排数字,分别是1 ~ N。1 ~ N可以交换位置。之后的每一行的数字都是上一行相邻两个数字相加得到的。这样下来,最底端就是一个比较大的数字啦!数字王国称这个数字为“基”。国王1希望“基”越大越好,可是每次都自己去做加法太繁琐了,他希望你能帮他通过编程计算出这个数的最大值。但是这个值可能很大,所以请你输出它mod 10007 的结果。

任务:给定N,求三角形1~N的基的最大值 再去 mod 10007。

输入输出格式

输入格式:

一个整数N

输出格式:

一个整数,表示1~N构成的三角形的最大的“基”

输入输出样例

输入样例#1:

4

输出样例#1:

24

输入样例#2:

1125

输出样例#2:

700

说明

数据:

20% 0<=N<=100

50% 0<=N<=3000

100% 0<=N<=1000000

样例解释:

1 3 4 2

4 7 6

11 13

24 是N=4的时候的最大值,当然还有别的构成形式。

PS:它叫做三角圣地,其实它就是个三角形~

本题数据已经更新,目前全部正确无误!

不要面向数据编程!

题解

把三角形画出来之后,发现,数列里一个数在“基”被加的次数就是从它的位置走向底端的方案数

然后,\(ans=C_{n-1}^0a_0+C_{n-1}^1a_1+C_{n-1}^2a_2+...+C_{n-1}^{n-1}a_{n-1}=\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ia_i\)

所以越往中间走,被加的次数就越多,那么贪心地把数列拍好,然后 \(O(n)\) 用Lucas算就好了

  1. #include<bits/stdc++.h>
  2. #define ui unsigned int
  3. #define ll long long
  4. #define db double
  5. #define ld long double
  6. #define ull unsigned long long
  7. const int MAXN=1000000+10,Mod=1e4+7;
  8. int n,A[MAXN];
  9. ll res,fac[MAXN],inv[MAXN];
  10. template<typename T> inline void read(T &x)
  11. {
  12. T data=0,w=1;
  13. char ch=0;
  14. while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
  15. if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
  16. while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
  17. x=data*w;
  18. }
  19. template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
  20. {
  21. if(x<0)putchar('-'),x=-x;
  22. if(x>9)write(x/10);
  23. putchar(x%10+'0');
  24. if(ch!='\0')putchar(ch);
  25. }
  26. template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
  27. template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
  28. template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
  29. template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
  30. inline ll qexp(ll a,ll b)
  31. {
  32. ll res=1;
  33. while(b)
  34. {
  35. if(b&1)res=res*a%Mod;
  36. a=a*a%Mod;
  37. b>>=1;
  38. }
  39. return res;
  40. }
  41. inline void init()
  42. {
  43. fac[0]=1;
  44. for(register int i=1;i<Mod;++i)fac[i]=fac[i-1]*i%Mod;
  45. inv[Mod-1]=qexp(fac[Mod-1],Mod-2);
  46. for(register int i=Mod-2;i>=0;--i)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%Mod;
  47. }
  48. inline ll C(ll n,ll m)
  49. {
  50. if(n<m)return 0;
  51. if(n<Mod&&m<Mod)return fac[n]*inv[m]%Mod*inv[n-m]%Mod;
  52. else return C(n/Mod,m/Mod)*C(n%Mod,m%Mod)%Mod;
  53. }
  54. int main()
  55. {
  56. read(n);
  57. init();
  58. if(n&1)
  59. {
  60. A[(n>>1)+1]=n;A[(n>>1)+2]=n-1;
  61. for(register int i=(n>>1);i>=1;--i)A[i]=A[i+1]-2;
  62. for(register int i=(n>>1)+3;i<=n;++i)A[i]=A[i-1]-2;
  63. }
  64. else
  65. {
  66. A[1]=1;
  67. for(register int i=2;i<=(n>>1);++i)A[i]=A[i-1]+2;
  68. A[(n>>1)+1]=n;
  69. for(register int i=(n>>1)+2;i<=n;++i)A[i]=A[i-1]-2;
  70. }
  71. for(register int i=1;i<=n;++i)(res+=C(n-1,i-1)*A[i]%Mod)%=Mod;
  72. write(res,'\n');
  73. return 0;
  74. }

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