【bzoj2721】[Violet 5]樱花
题目传送门:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2721
好久没做数学题了,感觉有些思想僵化,走火入魔了。
这道题就是求方程$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!} $的正整数解个数。
首先我们可以把方程化为$ (x+y)n!=xy $。。。然后就发现搞不出什么了。
但是我们可以考虑换元,因为显然$ x,y>n $,所以我们设$ y=n!+k $,然后我们就可以把方程化为$ (x+n!+k)n!=x(n!+k) $,接下来去括号并整理得:$ (n!)^{2}+kn!=xk $,于是$ x=\frac{(n!)^{2}}{k}+n! $。
我们可以发现,$ x,y,n! $都是正整数,因此由$ y=n!+k $且$ y>n $可得$ k $也是正整数,而由$ x=\frac{(n!)^{2}}{k}+n! $可得$ \frac{(n!)^{2}}{k} $是正整数,所以k必为$ (n!)^2 $一因数。并且$ x,y $和$ k $的值是一一对应的,所以问题就变成了求$ (n!)^2 $的因数个数。
具体做法可以用筛法筛出质数,然后对于每个质数,算出它们的每个幂对答案的贡献。
代码:
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define lowbit(x) (x& -x)
#define mod 1000000007
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-18
#define maxn 500010
inline ll read()
{
ll tmp=; char c=getchar(),f=;
for(;c<''||''<c;c=getchar())if(c=='-')f=-;
for(;''<=c&&c<='';c=getchar())tmp=(tmp<<)+(tmp<<)+c-'';
return tmp*f;
}
int p[],mn[];
ll cnt[];
int n,tot=;
void eular(int n)
{
mn[]=;
for(int i=;i<=n;i++){
if(!mn[i])p[++tot]=i,mn[i]=tot;
for(int j=;j<=mn[i]&&i*p[j]<=n;j++)mn[i*p[j]]=p[j];
}
//for(int i=1;i<=n;i++)
// if(p[mn[i]]==i)printf("%d\n",i);
}
int main()
{
n=read();
eular(n);
for(int i=;i<=tot;i++){
cnt[i]=;
for(ll j=p[i];j<=n;j*=p[i])cnt[i]+=n/j;
cnt[i]%=mod;
}
ll ans=;
for(int i=;i<=tot;i++)
ans=ans*(cnt[i]*+)%mod;
printf("%lld\n",ans);
return ;
}
bzoj2721
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