ZOJ Monthly, January 2019

A: Little Sub and Pascal's Triangle

Solved.

题意：

求杨辉三角第n行奇数个数

思路：

薛聚聚说找规律，16说Lucas

答案是 $2^p \;\;p 为 n - 1 中 以2进制表示下1的个数$

证明

$Ans = \sum\limits_0^n C_n^i \;\%\; 2 = \sum\limits_0^n C_{\frac{n}{2}}^{\frac{i}{2}} \cdot C_{n\;\%\;2}^{i\;\%\;2}$

我们考虑 $C_{n \;\%\; 2}^{i \;\%\; 2}$ 一共有四种取值

$C_0^0 \;\; C_0^1\;\; C_1^0 \;\; C_1^1$

我们发现 只有 $C_0^1的值为0 其他三个值都为1$

那么我们再考虑$C_n^i 这个式子$

它通过卢卡斯定理分解 实际上可以写成

我们先假设

$i 以二进制表示为$

$a_1, a_2, \cdots a_k$

$n 以二进制表示为$

$b_1, b_2, \cdots b_k$

那么 $C_n^i = C_{b_1}^{a_1} \cdot C_{b_2}^{a_2} \cdots C_{b_k}^{a_k}$

那么我们发现，

要满足$C_n^i\;\%\; 2 = 1 \;\;$

$那么在b_y = 1的位置上，i在对应位置上取0或者1都可以$

在$b_y = 0 的位置上，i在对应位置的取值已经固定 是 0$

那么$i的取值一共有2^p  p 为(n - 1)以2进制表示下1的个数$

为什么是$n - 1 \;\;因为杨辉三角是从第0行开始的$

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 ll n;

 int main()
 {
     int t;
     scanf("%d", &t);
     while(t--)
     {
         scanf("%lld", &n);
         n--;
         ll tmp = ;
         while(n)
         {
             if(n & ) tmp++;
             n >>= ;
         }
         ll ans = 1ll << tmp;
         printf("%lld\n", ans);
     }
     return ;
 }

B:Little Sub and his Geometry Problem

Solved.

题意：

一个点的权值定义为它到左下角所有点的曼哈顿距离

q次查询， 每次查询权值为c的点的个数

思路：

$给出的点沿着x轴正方向， y轴正方向都是严格单调递增的。$

$因此可以枚举x轴， 动态维护左下角点个数以及权值， 向右走的同时$

$将横坐标相同， 纵坐标<=当前位置的点假如， 向下走的时候将纵坐标相同给的点移除$

$当前权值为c时 ans++$

(薛聚聚：不会写题解啊)

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;

 const double eps = 1e-;
 const ll MOD = 1e9 + ;
 const ll INFLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 const int maxn = 1e5 + ;

 int n, k;
 ll sum, cnt;
 ll sum_arr[maxn], cnt_arr[maxn];
 ll ans[];

 struct node {
     int x, y;
     node() {}
     node(int x, int y) :x(x), y(y) {}
     bool operator < (const node &other) const
     {
         return x == other.x ? y < other.y : x < other.x;
     }
 }P[maxn];

 ll solve(ll c)
 {
     cnt = sum = ;
     memset(sum_arr, , sizeof sum_arr);
     memset(cnt_arr, , sizeof cnt_arr);
     int index = ;
     int ans = ;
     int y = n;
     for (int x = ; x <= n; ++x)
     {
         while (index <= k && P[index].x <= x)
         {
             if (P[index].y <= y)
             {
                 cnt++;
                 sum += P[index].x + P[index].y;
                 sum_arr[P[index].y] += P[index].x + P[index].y;
                 cnt_arr[P[index].y]++;
             }
             ++index;
         }
         while ((x + y) * cnt - sum > c)
         {
             sum -= sum_arr[y];
             cnt -= cnt_arr[y];
             --y;
         }
         if ((x + y) * cnt - sum == c) ++ans;
     }
     return ans;
 }

 void RUN()
 {
     int t;
     scanf("%d", &t);
     while (t--)
     {
         scanf("%d %d", &n, &k);
         for (int i = ; i <= k; ++i) scanf("%d %d", &P[i].x, &P[i].y);
         sort(P + , P +  + k);
         int q;
         scanf("%d", &q);
         for (int i = ; i <= q; ++i)
         {
             ll c;
             scanf("%lld\n", &c);
             ans[i] = solve(c);
         }
         for (int i = ; i <= q; ++i) printf("%lld%c", ans[i], " \n"[i == q]);
     }
 }

 int main()
 {
 #ifdef LOCAL_JUDGE
     freopen("Text.txt", "r", stdin);
 #endif // LOCAL_JUDGE

     RUN();

 #ifdef LOCAL_JUDGE
     fclose(stdin);
 #endif // LOCAL_JUDGE
     return ;
 }

E:Little Sub and Mr.Potato's Math Problem

Solved.

题意：

给出n， k

将n个数按照字典序排序， k所在的位置为m

现在给出k， m  求最小的n

思路：

当k为10的整数倍， 那么它一定在第$log_{10^k}$

$随后统计当n=k的时候， 排在k前面的个数，和m比较， 判断是否合法$

$接着不断增加n， 统计每次增长排在k前面的个数， 随后输出n$

(薛聚聚：不会写题解啊)

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;

 const double eps = 1e-;
 const ll MOD = 1e9 + ;
 const ll INFLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 const int maxn = 1e5 + ;

 ll k, m;
 int arr[maxn];
 ll pow_10[];

 void Init()
 {
     pow_10[] = ;
     for (int i = ; i <= ; ++i)
     {
         pow_10[i] = pow_10[i - ] * ;
     }
 }

 void solve()
 {
     ll num = ;
     for (int i = ;; ++i)
     {
         if (num > k) break;
         else if (num == k)
         {
             if (i == m)
             {
                 printf("%lld\n", k);
                 return;
             }
             else
             {
                 puts("");
                 return;
             }
         }
         num *= ;
     }
     int len = ;
     num = k;
     while (num)
     {
         arr[++len] = num % ;
         num /= ;
     }
     reverse(arr + , arr +  + len);
     ll ans = ;
     num = ;
     for (int i = ; i <= len; ++i)
     {
         num = num *  + arr[i];
         ans += num - pow_10[i - ];
         if (i != len) ++ans;
     }
     if (ans >= m)
     {
         puts("");
         return;
     }
     else if (ans == m - )
     {
         printf("%lld\n", k);
         return;
     }
     while ()
     {
         len++;
         num *= ;
         if (ans + num - pow_10[len - ] >= m - )
         {
             ans = pow_10[len - ] + m - ans - ;
             printf("%lld\n", ans);
             return;
         }
         ans += num - pow_10[len - ];
     }
 }

 void RUN()
 {
     Init();
     int t;
     scanf("%d", &t);
     while (t--)
     {
         scanf("%lld %lld", &k, &m);
         solve();
     }
 }

 int main()
 {
 #ifdef LOCAL_JUDGE
     freopen("Text.txt", "r", stdin);
 #endif // LOCAL_JUDGE

     RUN();

 #ifdef LOCAL_JUDGE
     fclose(stdin);
 #endif // LOCAL_JUDGE
     return ;
 }

F:Little Sub and a Game

Unsolved.

题意：

有两个玩家$A, B 刚开始有一个变量v = 0$

$A玩家有N个pair, B玩家有M个pair \;\; pair 为(x, y) A玩家N次操作，每次选择x_i 或者 y_i 来异或v B玩家有M次操作$

$A玩家先进行N次操作, B玩家再进行M次操作$

A玩家想让$v尽量大，B玩家想让v尽量小$

两个玩家都采用最优策略，求最后$v$的值

G:Little Sub and Tree

Solved.

题意：

给出一个无根树，选取$k个点对所有点进行编码$

按如下方式进行编码

$令选取的k个点为 s_1, s_2 \cdots s_k$

编出的码有$k位$

$对于u来说，第i位的编码为 s_i -> u的简单路径上的点的总数$

思路：

如果是一条链的话  那么取两端的一个就可以了

那么我们考虑一棵树中，如果某个节点的儿子对应的子树是一条链

那么这条链是可以被缩点成一个叶节点 而对答案没有影响

那么现在树就被我们简化成了 只有叶节点的子树

首先注意到，一棵子树内节点的区分和这棵子树外的点的选取是没有关系的

那么我们考虑 一个点对应的儿子当中，如果有$x个叶节点$

那么这x个节点要想被区分，就需要取$x - 1$ 个

再考虑一个点的儿子对应的子树，如果子树内都被区分了，那么合并起来也是被区分的

那么考虑选谁作为根

只要根不在链上就可以了，因为如果在链上会对缩点产生影响

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 #define N 100010
 int t, n, root, d[N], fa[N];
 vector <int> G1[N], G2[N], res;

 int pre(int u)
 {
     int id = -;
     int cnt = G1[u].size() - ;
     if (cnt == ) return u;
     for (auto v : G1[u]) if (v != fa[u])
     {
         fa[v] = u;
         id = pre(v);
         G2[u].push_back(id);
     }
     if (cnt ==  && u != root) return id;
     else return u;
 }

 void DFS(int u)
 {
     int need = ;
     for (auto v : G2[u]) if (v != fa[u] && !d[v])
         ++need;
     --need;
     for (auto v : G2[u]) if (v != fa[u])
     {
         fa[v] = u;
         if (!d[v] && need > )
         {
             --need;
             res.push_back(v);
         }
         DFS(v);
     }
 }

 int main()
 {
     scanf("%d", &t);
     while (t--)
     {
         scanf("%d", &n);
         for (int i = ; i <= n; ++i)
         {
             G1[i].clear();
             G2[i].clear();
             d[i] = -;
             fa[i] = ;
         }
         res.clear();
         root = -;

         for (int i = , u, v; i < n; ++i)
         {
             scanf("%d%d", &u, &v);
             G1[u].push_back(v);
             G1[v].push_back(u);
             ++d[u]; ++d[v];
         }
         if (n == )
         {
             puts("1\n1");
             continue;
         }
         for (int i = ; i <= n; ++i) if (d[i] > )
         {
             root = i;
             break;
         }
         if(root == -)
         {
             int ans = ;
             for(int i = ; i <= n; ++i) if(d[i] == ) ans = i;
             printf("1\n%d\n", ans);
             continue;
         }
         pre(root);
         DFS(root);
         //puts("bug");
         //for (int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d %d\n", i, fa[i]);
         //puts("bug");
         int k = res.size();
         printf("%d\n", k);
         for (int i = ; i < k; ++i) printf("%d%c", res[i], " \n"[i == k - ]);
     }
     return ;
 }

I:Little Sub and Isomorphism Sequences

Solved.

题意：

有一个$A[], 两种操作$

• $A_x -> y$
• 查询最长同构子串

思路：

考虑最长同构子串肯定会有重叠部分，那么两端出去的部分就是不同的部分

那么这个不同的部分让它长度为1即可，因为多余的长度是没有用的

那么题意就可以转化为 找一个最长的子串，使得两端相同即可

将数据离散化 开2e5个set维护每个数的位置

然后用数据结构 维护答案的最大值 即可

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 #define N 200010
 int t, n, m, a[N], b[N];
 struct qnode
 {
     int op, x, y;
     void scan()
     {
         scanf("%d", &op);
         if (op == )
         {
             scanf("%d%d", &x, &y);
             b[++b[]] = y;
         }
     }
 }q[N];
 set <int> s[N];
 namespace SEG
 {
     int a[N << ];
     void build(int id, int l, int r)
     {
         a[id] = -;
         if (l == r) return;
         int mid = (l + r) >> ;
         build(id << , l, mid);
         build(id <<  | , mid + , r);
     }
     void update(int id, int l, int r, int pos, int v)
     {
         if (l == r)
         {
             a[id] = v;
             return;
         }
         int mid = (l + r) >> ;
         if (pos <= mid) update(id << , l, mid, pos, v);
         else update(id <<  | , mid + , r, pos, v);
         a[id] = max(a[id << ], a[id <<  | ]);
     }
 }
 void Hash()
 {
     sort(b + , b +  + b[]);
     b[] = unique(b + , b +  + b[]) - b - ;
     for (int i = ; i <= n; ++i) a[i] = lower_bound(b + , b +  + b[], a[i]) - b;
     for (int i = ; i <= m; ++i) if (q[i].op == ) q[i].y = lower_bound(b + , b +  + b[], q[i].y) - b;
 }

 int main()
 {
     scanf("%d", &t);
     while (t--)
     {
         scanf("%d%d", &n, &m);
         SEG::build(, , n + m);
         for (int i = ; i <= n + m; ++i) s[i].clear(); b[] = ;
         for (int i = ; i <= n; ++i) scanf("%d", a + i), b[++b[]] = a[i];
         for (int i = ; i <= m; ++i) q[i].scan(); Hash();
         for (int i = ; i <= n; ++i) s[a[i]].insert(i);
         for (int i = ; i <= n + m; ++i) if (s[i].size() >= )
             SEG::update(, , n + m, i, *s[i].rbegin() - *s[i].begin());
         for (int i = ; i <= m; ++i)
         {
             if (q[i].op == )
             {
                 int v = a[q[i].x], x = q[i].x, y = q[i].y;
                 s[v].erase(x);
                 SEG::update(, , n + m, v, s[v].size() >=  ? *s[v].rbegin() - *s[v].begin() : -);
                 a[q[i].x] = y;
                 v = y;
                 s[v].insert(x);
                 SEG::update(, , n + m, v, s[v].size() >=  ? *s[v].rbegin() - *s[v].begin() : -);
             }
             else printf("%d\n", SEG::a[]);
         }
     }
     return ;
 }