【loj6342】跳一跳 期望dp

题目描述

一个人从 $1$ 开始向 $n$ 跳，在 $i$ 时会等概率跳到 $i,i+1,...,n$ 之一。求从 $1$ 跳到 $n$ 的期望步数。

$n\le 10^7$ 。

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题解

期望dp傻逼题

设 $f[i]$ 表示从 $i$ 跳到 $n$ 的期望步数，那么有 $f[i]=\frac{\sum\limits_{j=i}^n f[j]}{n-i+1}+1=\frac{\sum\limits_{j=i+1}^nf[j]}{n-i}+1$ ，维护后缀和转移即可。

时间复杂度 $O(n)$

由于卡内存，因此逆元必须用int存储， $f$ 和 $s$ 需要使用滚动数组。

#include <cstdio>
#define N 10000010
#define mod 1000000007
int inv[N];
int main()
{
	int n , i;
	long long f , s = 0;
	scanf("%d" , &n);
	inv[1] = 1;
	for(i = 2 ; i <= n ; i ++ ) inv[i] = 1ll * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
	for(i = n - 1 ; i ; i -- ) f = ((s + 1) * inv[n - i] + 1) % mod , s = (s + f) % mod;
	printf("%lld\n" , f);
	return 0;
}