B-Spline 样条学习笔记
(1) 对于clamped样条曲线,节点区间的数目等于曲线段的数目。
eg: B-样条曲线有11个控制点(即,n = 10), 3次P样条 (即, p=3) ,由 m=n+p+1 则有15 个节点 (m = 14),又因为是clamped曲线,则其中头四个(p+1)和最后四个节点(p+1个) 都相等,即节点区间分为:7段,有效节点有15-p-p = 9个,分为8段。
如果这8段是平均间隔,则是均匀的B-Spline曲线。否则称为不均匀的B-Spline曲线。
可以如下表示:clamped节点向量是u0(p+1), up+1, ..., um-p-1, um(p+1)。
一个clamped B-样条曲线经过第一个和最后一个控制点。实际上,它也与控制折线的第一边和最后一边相切。
(2)更低次曲线而仍然保持很多控制点, 即由m=n+p+1, 如果节点向量(m+1)不变,则如果B-spline曲线次数p减少,则控制点的数量(n+1)强增加;
(3) 曲线中的几个概念:控制点数量(n+1),节点数量(m+1),曲线次数p
是个由13个控制点 control points (即, n = 12)和18个节点(即, m = 17)定义的4次 (即, p = 4)B-样条曲线 ;
(4)一个p次B-样条曲线在简单节点上是 Cp-1 在其他空间是无限可微的;如果这个点是t个相邻控制点重合,在那个控制点上,连续性是Cp-t 。
即,如果p次曲线,且有p 个相邻控制点重合,则在那个控制点上,连续性是C0 。
增加一个内部节点的重复度会减小在该节点的非零基函数的数目。实际上,如果该节点的重复度是 k, 最多在该节点上有 p - k + 1 个非零函数。而且,在该节点的基函数是Cp-k 连续的。如果 k = p, 只有一个非零基函数在该节点上,只有一个控制点有非零系数。结果,曲线通过该点。
(5)因为B-样条曲线是许多曲线段的组合,每个定义于一个节点区间上,修改一个或多个节点位置会改变相应的曲线段和节点区间,因此改变曲线的形状。
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