【HDU4003】Find Metal Mineral

题目大意：给定一棵 N 个节点的有根树，边有边权，在根结点处有 K 个人，这些人会遍历树上的所有边，求如何遍历才能使得所有人走过路径的边权和最小。

题解：

引理：对于一棵子树来说，若存在 M>0 个人最后停留在这棵子树内，则对于最优情况来说，来到过这棵子树的人也只能是 M 个，即：不会存在第 M+1 个人来到该子树，再回到其父节点的情况。

证明：若存在第 M+1 个人来到了这棵子树，并走了一条路径 P，最后回到子树根节点的父节点。我们可以在 [1,M] 中任意选择一个人，先走与这个人相同的路径 P，再走这个人自己的路径，发现这样的代价会比第 M+1 个人要少，因为第 M+1 个人还要将来到和离开子树的代价计算在内，证毕。

有了引理之后，就会消除树形dp状态设计因会有人返回的难点，直接dp即可。同样，我们还可以得到一个结论，即：若一棵子树中最后没有人停留，则一定是用了一个人遍历了这棵子树，并回到了父节点的结果。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e4+10;

int n,s,m,dp[maxn][11];
struct node{int nxt,to,w;}e[maxn<<1];
int tot=1,head[maxn];
inline void add_edge(int from,int to,int w){
	e[++tot]=node{head[from],to,w},head[from]=tot;
}

void dfs(int u,int fa){
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to,w=e[i].w;
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
		for(int j=m;j>=0;j--){
			dp[u][j]+=dp[v][0]+2*w;
			for(int k=1;k<=j;k++)
				dp[u][j]=min(dp[u][j],dp[v][k]+dp[u][j-k]+k*w);
		}
	}
}
void read_and_parse(){
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y,z;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add_edge(x,y,z),add_edge(y,x,z);
	}
}
void solve(){
	dfs(s,0);
	printf("%d\n",dp[s][m]);
}
void init(){
	memset(head,0,sizeof(head)),tot=1;
	memset(dp,0,sizeof(dp));
}
int main(){
	while(scanf("%d%d%d",&n,&s,&m)!=EOF){
		init();
		read_and_parse();
		solve();
	}
	return 0;
}