Luogu P2612 [ZJOI2012]波浪

题目

我们考虑从\(1\)到\(n\)把每个数放到序列里面去，以消掉绝对值。

在最后的序列中，如果\(i\)的某一边是序列的边界，那么\(i\)会产生\(0\)的贡献。如果\(i\)的某一边是一个比\(i\)小的数，那么\(i\)会产生\(i\)的贡献。如果\(i\)的某一边是一个比\(i\)大的数，那么\(i\)会产生\(-i\)的贡献。

当我们放\(i\)时，所有小于\(i\)的数都已经放进序列了，而大于\(i\)的还没放。

那么最后的序列中\(i\)的左右两边的情况就等同于放\(i\)的时候\(i\)两边是否紧贴着某个数。

所以我们可以把连通块（一个极大的连续的放了数的段）的情况和边界的情况放进dp的状态里。

设\(f_{i,j,k,l}\)表示放了\(i\)个数，序列中存在\(j\)个连通块，总贡献为\(k\)（这一维需要平移\(5000\)），有\(l\)个边界已经被紧贴（\(l=0,1,2\)）的方案数。

发现第一维\(i\)显然是可以滚掉的。

那么有以下几个转移：

\(1.i\)一边是边界，一边是空：\(f_{j,k,l}(2-p)->f_{j+1,k-i,l+1}\)。

\(2.i\)一边是边界，一边是连通块：\(f_{j,k,l}(2-p)->f_{j,k+i,l+1}\)。

\(3.\)两边都是连通块：\(f_{j,k,l}(j-1)->f_{j-1,k+2i,l}\)。

\(4.\)两边都是空：\(f_{j,k,l}(j+1-l)->f_{j+1,k-2i,l}\)。

\(5.\)一边是连通块，一边是空：\(f_{j,k,l}(j*2-l)->f_{j,k,l}\)。

那么最后的答案就是\(\frac{\sum\limits_{i=5000+m}^{10000}f_{1,i,2}}{n!}\)。

注意要数据类型分治。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=107,M=10007;
namespace db{long double f[2][N][M][3];}
namespace flt{__float128 f[2][N][M][3];}
int min(int a,int b){return a<b? a:b;}
int n,m,k;
template<class T>void out(T ans)
{
    cout<<"0.",ans*=10;
    for(int i=1;i<=k;++i) cout<<(int)(ans+(k==i)*0.5),ans=(ans-(int)ans)*10;
}
template<class T>void solve(T f[][N][M][3])
{
    T ans=0;
    f[0][0][5000][0]=1;
    int g=0,i,j,k,p;
    for(i=1;i<=n;++i)
    {
        g^=1,memset(f[g],0,sizeof f[g]);
        for(j=0;j<=min(i-1,m);++j)
            for(k=0;k<=10000;++k)
                for(p=0;p<=2;++p)
                    if(f[g^1][j][k][p])
		    {
                        if(k>=2*i) f[g][j+1][k-2*i][p]+=f[g^1][j][k][p]*(j+1-p);
                        if(j) f[g][j][k][p]+=f[g^1][j][k][p]*(j*2-p);
                        if(j>=2&&k+2*i<=10000) f[g][j-1][k+2*i][p]+=f[g^1][j][k][p]*(j-1);
                        if(p^2)
			{
                            if(k>=i) f[g][j+1][k-i][p+1]+=f[g^1][j][k][p]*(2-p);
                            if(j&&k+i<=10000) f[g][j][k+i][p+1]+=f[g^1][j][k][p]*(2-p);
                        }
                    }
    }
    for(i=m;i<=5000;++i) ans+=f[g][1][5000+i][2];
    for(i=1;i<=n;++i) ans/=i;
    out(ans);
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    if(k<=8) solve(db::f);
    else solve(flt::f);
}