dp入门题（数塔）

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2084

题意：

　　　　　　　　7

　　　　　　3 　　　  8

　　　　8　　 　 1　 　　   0

　　2　　     7 　　　 4 　　　   4

4 　　　5　　　 2　　　    6　　  　   5

在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。

路径上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。

 

解法1：dfs搜索每一条路径，可以发现很多点会重复搜索。时间复杂度为：O(2的n次方)

//#include <bits/stdc++.h>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string>
#include <stdio.h>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <string.h>
#include<time.h>
#include <vector>
#define ME(x , y) memset(x , y , sizeof(x))
#define SF(n) scanf("%d" , &n)
#define rep(i , n) for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
#define INF  0x3f3f3f3f
#define mod 20191117
#define PI acos(-1)
using namespace std;
typedef long long ll ;
int a[109][109];
int n ;
 
int getsum(int i , int j)
{
    if(i == n)
        return a[i][j];
    else{
        int x = getsum(i+1 , j);
        int y = getsum(i+1 , j+1);
        return max(x , y) + a[i][j];
    }
}
 
int main()
{
    /*#ifdef ONLINE_JUDGE
    #else
        freopen("D:/c++/in.txt", "r", stdin);
        freopen("D:/c++/out.txt", "w", stdout);
    #endif*/
    int t ;
    scanf("%d" , &t);
    while(t--)
    {
        memset(dp , -1 , sizeof(dp));
        scanf("%d" , &n);
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        {
            for(int j = 1 ; j <= i ; j++)
            {
                scanf("%d" , &a[i][j]);
            }
        }
        cout << getsum(1 , 1) << endl ;
 
    }
 
    return 0;
}

解法1改进：记忆化搜索，将搜索过的点记录下来。时间复杂度O（n的平方）。

//#include <bits/stdc++.h>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string>
#include <stdio.h>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <string.h>
#include<time.h>
#include <vector>
#define ME(x , y) memset(x , y , sizeof(x))
#define SF(n) scanf("%d" , &n)
#define rep(i , n) for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
#define INF  0x3f3f3f3f
#define mod 20191117
#define PI acos(-1)
using namespace std;
typedef long long ll ;
int a[109][109];
int n ;
int dp[109][109];
 
int getsum(int i , int j)
{
    if(i == n)
        return a[i][j];
    else{
        if(dp[i][j] != -1) return dp[i][j];
        int x = getsum(i+1 , j);
        int y = getsum(i+1 , j+1);
        dp[i][j] = max(x,y)+a[i][j];
        return max(x , y) + a[i][j];
    }
    return dp[i][j] ;
}
 
int main()
{
    /*#ifdef ONLINE_JUDGE
    #else
        freopen("D:/c++/in.txt", "r", stdin);
        freopen("D:/c++/out.txt", "w", stdout);
    #endif*/
    int t ;
    scanf("%d" , &t);
    while(t--)
    {
        memset(dp , -1 , sizeof(dp));
        scanf("%d" , &n);
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        {
            for(int j = 1 ; j <= i ; j++)
            {
                scanf("%d" , &a[i][j]);
            }
        }
        cout << getsum(1 , 1) << endl ;
    }
 
    return 0;
}

解法2、递归转为递推。从底层向上递推。

//#include <bits/stdc++.h>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string>
#include <stdio.h>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <string.h>
#include<time.h>
#include <vector>
#define ME(x , y) memset(x , y , sizeof(x))
#define SF(n) scanf("%d" , &n)
#define rep(i , n) for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
#define INF  0x3f3f3f3f
#define mod 20191117
#define PI acos(-1)
using namespace std;
typedef long long ll ;
int a[109][109];
int n ;
int dp[109][109];
 
int main()
{
    /*#ifdef ONLINE_JUDGE
    #else
        freopen("D:/c++/in.txt", "r", stdin);
        freopen("D:/c++/out.txt", "w", stdout);
    #endif*/
    int t ;
    scanf("%d" , &t);
    while(t--)
    {
        memset(dp , -1 , sizeof(dp));
        scanf("%d" , &n);
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        {
            for(int j = 1 ; j <= i ; j++)
            {
                scanf("%d" , &a[i][j]);
            }
        }
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        {
            dp[n][i] = a[n][i];
        }
        for(int i = n - 1 ; i >= 1 ; i--)
        {
            for(int j = 1 ; j <= i ; j++)
            {
                dp[i][j] = max(dp[i+1][j] , dp[i+1][j+1])+a[i][j];
            }
        }
        cout << dp[1][1] << endl ;
    }
 
    return 0;
}

解法2优化空间

//#include <bits/stdc++.h>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string>
#include <stdio.h>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <string.h>
#include<time.h>
#include <vector>
#define ME(x , y) memset(x , y , sizeof(x))
#define SF(n) scanf("%d" , &n)
#define rep(i , n) for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
#define INF  0x3f3f3f3f
#define mod 20191117
#define PI acos(-1)
using namespace std;
typedef long long ll ;
int a[109][109];
int n ;
int dp[109];
 
int main()
{
    /*#ifdef ONLINE_JUDGE
    #else
        freopen("D:/c++/in.txt", "r", stdin);
        freopen("D:/c++/out.txt", "w", stdout);
    #endif*/
    int t ;
    scanf("%d" , &t);
    while(t--)
    {
        memset(dp , -1 , sizeof(dp));
        scanf("%d" , &n);
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        {
            for(int j = 1 ; j <= i ; j++)
            {
                scanf("%d" , &a[i][j]);
            }
        }
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        {
            dp[i] = a[n][i];
        }
        for(int i = n - 1 ; i >= 1 ; i--)
        {
            for(int j = 1 ; j <= i ; j++)
            {
                dp[j] = max(dp[j] , dp[j+1])+a[i][j];
            }
        }
        cout << dp[1] << endl ;
    }
 
    return 0;
}