D4下午

开始学图论辣

图的基本模型

图是点和边组成的集合体，G = <V, E>

v是点集，e是边集

还有就是有向图无向图啥的

算了太水了不写了

提几个没大见过的吧

环

环上任意两点间可以随意到达，自环就是一个点有一条连向自己的道路

路径

其实就是u-v的一条路，如果路径上的各顶点均不互相重复，称这样的路径为简单路径

特殊的图

树上两点之间路径是唯一的，而且树一定有n个点n-1条边，保证所有点之间都可互相到达（无向图）

完全图指n个点之间任意两个点之间都有一条边（无向图）

竞赛图是完全图上的每一个边都随便定一个方向

基环树是说一个环上出去的点全是树

如果一条边只属于一个环，那么叫做仙人掌

图的输入方式

最常见的输入方式是用 1 − N 表示顶点，并逐行给出 M 条边所连接的两点和边权大小。

N M

u1 v1 w1

u2 v2 w2

. . .

um vm wm

如果有点权，一般会用一行 N 个数表示每个点的权值大小。

p1 p2 . . . pn

poj经常会给一些智障图的出法，比如告诉你一个点的出度是x，然后紧接着x个数表示u-vi有一条边。。。

还有一个变态输入方式

输入文件的第一行为n （n<=1000），表示火星上基地的数目。接下来的n-1行每行有一个正整数，其中文件第i行的正整数为a[i]，表示从编号为i的基地到编号为a[i]的基地之间有一条道路，为了更加简洁的描述树状结构的基地群，有a[i]<i。

图的遍历方法

DFS和BFS

三种dfs序（在书上的）遍历方式

前序 中序 后序

例一

给定一个有向图，边权为 1 或 2，求单源最短路。

不能用任何最短路算法；

稍微改写一下 BFS 即可。

创建三个集合， Q0表示当前层， Q1 表示距离为 1 的层，Q2 表示距离为 2 的层，初始 Q0 = {s}, Q1 = ∅, Q2 = ∅

依次取出 Q0 中的点，将其邻点放入对应的 Q1 或 Q2 中

Q0 = Q1, Q1 = Q2, Q2 = ∅

注意一个点可能和当前层既有长度为 1 的边，又有长度为 2 的

边，应当将其加入 Q1 而非 Q2

例二

给出一个有向图和起点 s，对每条边 < u, v > 回答，如果删去这条边，从 s 到 v 的最短路长度是否会改变。

题解

求出从 s 出发的单源最短路

建立最短路图，即保留满足 dv du + 1 的边 < u, v >

在最短路图上，如果 v 的入度为 1，则该入边是从 s 到 v的必经边，若删去则 v 的最短路长度会改变

在最短路图上，如果 v 的入度大于 1，则删去任何一条入边， v 的最短路长度都不会改变

拓扑排序

有向无环图的拓扑排序即将所有顶点排为线性序列，使得对于任意的 < u, v >∈ E，都有 u 在线性序列中出现于 v 之前。

有向图中如果有环，则一定不存在拓扑排序；如果没有环，则一定存在拓扑排序。

选取一个入度为 0 的点记为 u

将 u 添加到线性序列末端

删去所有 u 的出边（如果有某个点入度为0，那么把他加进去）

重复上述步骤直到所有点都被加入序列

代码

void toposort()
{
    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if (in[i] == 0) //入度为0
            q.push(i);
    while (!q.empty())
    {
        int temp = q.front();
        q.pop();
        for (int i = head[temp]; i; i = edge[i].next)
        {
            int v = edge[i].to;
            if (--in[v] == 0)
                q.push(v);
        }
    }
}

例一（裸题）

有 n 项任务，有 m 个限制，第 i 个限制要求执行任务 ui 之前必须要完成任务 vi。请问是否存在合适的任务执行顺序，满足所有的限制。

实际上是u->v;

将每个任务视为一个点，任务之间的依赖构成了有向边。如果该有向图中没有环，则存在拓扑排序，而拓扑排序就是可行的任务执行顺序；如果该有向图中存在环，则无解。

注意如果长度不是n那么有环无解

bzoj 道路和航线

FJ 正在一个新的销售区域对他的牛奶销售方案进行调查。他想把牛奶送到 T 个城镇 (1 ≤ T ≤ 25000)，编号为 1 到 T。这些城镇之间通过 R 条道路 (1 ≤ R ≤ 50000) 和 P 条航线(1 ≤ P ≤ 50000) 连接。每条道路 i 或者航线i 连接城镇 Ai 到Bi，花费为 Ci。

对于道路， 0 ≤ Ci ≤ 10000; 然而航线的花费很神奇，花费 Ci 可能是负数 (−10000 ≤ Ci ≤ 10000)。道路是双向

的，可以从 Ai 到 Bi，也可以从 Bi 到 Ai，花费都是 Ci。然而航线与之不同，只可以从 Ai 到 Bi。事实上，由于最近恐怖主义太嚣张，为了社会和谐，出台了一些政策保证：如果有一条航线可

以从 Ai 到 Bi，那么保证不可能通过一些道路和航线从 Bi 回到

Ai。由于 FJ 的奶牛世界公认〸分给力，他需要运送奶牛到每一

个城镇。他想找到从发送中心城镇 S 把奶牛送到每个城镇的最

便宜的方案，或者知道这是不可能的。

有向边一定不在环中

注意到如果有一条航线可以从 Ai 到 Bi，那么保证不可能通过一

些道路和航线从 Bi 回到 Ai。

换言之，不存在包含航线（负权单向边）的环。

首先加入所有正权无向边，找出所有连通块，每个连通块缩为一

个点。再加入所有单向边，此时图一定为 DAG。

在 DAG 上用 BFS 更新最短路，在正权无向边组成的连通块

（缩点）内部使用 Dijkstra 更新最短路。

最短路

floyd

很水很水 基于DP，我们只需要枚举断点k就可以

void floyd()
{
	for (int k = 1; k <= n; ++k)
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			for (int j = 1; j <= n; ++j)
				f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);
}

时间复杂度 O(N^3)

空间复杂度 O(N^2)

Dijkstra

速度最快的最短路算法，但是只适用于没有负权边的图

将所有点分为两个集合，最短路确定的集合 S 和最短路未确定的集合 T，初始 S = {s}

求 T 中每个点 v 的当前最短路

dv =  min<u, v> ∈E, u∈S{D_u + W_u, v}

取出 T 中 dv 最小的点，其最短路一定就是 dv，将其加入 S(就是这个地方比较慢)

不断重复上面的操作，直到所有点的最短路径都确定

朴素写法时间复杂度较劣，可以采用堆优化至 O((N + M)logN)

SPFA

Bellman-Ford 我就直接跳过了吧，SPFA其实就是队列优化的Bellman-Ford

从初始点开始找他所有的出边，如果某个点的距离被更新了，那么我们把这个点放到队列当中去，并且一直这么写。

void spfa()
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        dis[i] = inf;
        vis[i] = 0;
    }
    dis[s] = 0;
    vis[s] = 1;
    q.push(s);
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.front();
        q.pop(), vis[u] = 0;
        for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next) //
        {
            int v = edge[i].to;
            if (dis[v] > dis[u] + edge[i].dis)
            {
                dis[v] = dis[u] + edge[i].dis;
                if (!vis[v])
                {
                    q.push(v);
                    vis[v] = 1;
                }
            }
        }
    }
}