【HDU 4992】 Primitive Roots （原根）

Primitive Roots

 

Description

We say that integer x, 0 < x < n, is a primitive root modulo n if and only if the minimum positive integer y which makes x ^y = 1 (mod n) true is φ(n) .Here φ(n) is an arithmetic function that counts the totatives of n, that is, the positive integers less than or equal to n that are relatively prime to n. Write a program which given any positive integer n( 2 <= n < 1000000) outputs all primitive roots of n in ascending order.

Input

Multi test cases. 
Each line of the input contains a positive integer n. Input is terminated by the end-of-file seperator.

Output

For each n, outputs all primitive roots of n in ascending order in a single line, if there is no primitive root for n just print -1 in a single line.

Sample Input

4
25

Sample Output

3
2 3 8 12 13 17 22 23

 

【题意】

　　求n的所有原根，若没有就输出-1(n<=10^6)

 

【分析】

　　

求出n的所有原根，不存在原根输出-1。

原根的定义题目已经给出，对于n的原根x，则满足x的y次幂模n等于1的最小y是n的欧拉函数值phi(n)，也就是小于等于n且与n互质的个数。

官方的题解里面说暴力求出一个原根来，然后利用结论：

如果g是模m的原根，整数d>=0，则g的d次幂是模m的原根的一个充要条件是d和phi(m)互质。

d暴力枚举：

一个是如果gcd(g, m)=1，且g^d=1(mod m)，则d为phi(m)的一个因子。换句话说如果g是m的原根，那么对于phi(m)的所有因子d（不包含phi(m)本身），g^d=1(mod m)是不成立的。我们可以通过枚举phi(m)的质因子以及g^phi(m)=1(mod m)是否成立来判断g是否是模m的原根。

然后有些不存在原根的数字利用另一条性质排除：

模m有原根的充要条件是m=2,4,p^n, 2p^n，p为奇质数，n任意正整数。

如果m没有满足上述条件，就直接输出-1。

http://blog.csdn.net/hongrock/article/details/39179291

代码如下：

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define LL long long
 #define Maxn 1000010

 int phi[Maxn],pri[Maxn],pl;
 bool q[Maxn],qs[Maxn];

 int gcd(int a,int b)
 {
     if(b==) return a;
     return gcd(b,a%b);
 }

 void get_phi(int mx)
 {
     pl=;
     memset(q,,sizeof(q));
     memset(qs,,sizeof(qs));
     phi[]=;
     for(int i=;i<=mx;i++)
     {
         if(q[i]) pri[++pl]=i,qs[i]=i==?:,phi[i]=i-;
         for(int j=;j<=pl;j++)
         {
             if(i*pri[j]>mx) break;
             q[i*pri[j]]=;
             if(i%pri[j]==)
             {
                 phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                 if(qs[i]) qs[i*pri[j]]=;
             }
             else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-);
             if(i%pri[j]==) break;
         }
     }
     for(int i=mx/;i>=;i--) if(qs[i]) qs[*i]=;
     qs[]=;qs[]=;
 }

 int qpow(int x,int y,int p)
 {
     LL ans=,xx=x,pp=p;
     while(y)
     {
         if(y&) ans=(ans*xx)%pp;
         xx=(xx*xx)%pp;
         y>>=;
     }
     return (int)ans;
 }

 int np[Maxn],nl;
 void div(int x)
 {
     nl=;
     for(int i=;pri[i]*pri[i]<=x;i++) if(x%pri[i]==)
     {
         np[++nl]=pri[i];
         while(x%pri[i]==) x/=pri[i];
     }
     if(x>) np[++nl]=x;
 }

 int ffind(int n)
 {
     div(phi[n]);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         if(qpow(i,phi[n],n)!=) continue;
         bool ok=;
         for(int j=;j<=nl;j++)
         {
             if(qpow(i,phi[n]/np[j],n)==) {ok=;break;}
         }
         if(!ok) continue;
         return i;
     }
     return -;
 }

 int op[Maxn];

 void output(int g,int n)
 {
     op[]=;
     op[++op[]]=g;
     LL M=(LL)n,now=(LL)g,gg=(LL)g;
     for(int i=;i<phi[n];i++)
     {
         now=(now*gg)%M;
         if(gcd(i,phi[n])==) op[++op[]]=(int)now;
     }
 }

 int main()
 {
     get_phi();
     int n;
     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
     {
         if(!qs[n]) {printf("-1\n");continue;}
         int g=ffind(n);
         output(g,n);
         sort(op+,op+op[]+);
         for(int i=;i<=op[];i++) printf("%d ",op[i]);
         printf("\n");
     }
     return ;
 }

[HDU 4992]

2016-09-06 16:39:31