更多例子

第二个递归的例子是求两个自然数的最大公约数(有没有回到令人怀念的中学时代)。下面的程序用的是经典的辗转相除法。

//greatest common divisor
//假定a、b都是正整数
function gcd(a, b){
if (a < b) return gcd(b, a);//ensure a >= b
var c = a % b;
if (c === 0)
return b;
else
return gcd(b, c);
}

除了上面这些条件或者解法可以转化为数学的递归定义的计算,递归方法还适用于其所涉及的数据结构即是以递归形式定义的问题,比如链表、图、树等等。

现在我们来看一个迷宫的例子。迷宫可以抽象成一副数学上的图,每个岔路口是一个点,其间的路是边。两个特殊的点,分别被定义成入口和出口。

下面是用Javascript定义的点和图。每个点包含一个id作为编号和标志,相邻的点被保存在一个数组中。图有一个添加点的方法,和一个更方便使用的直接添加点的id的方法;还有一个添加边的方法。

//define a vertex
function Vertex(id){
var stem={};
stem.id=id;
stem.adjacent=[];
return stem;
}
//define a graph
function Graph(){
var stem={}, vertices={};
//add vertices to the graph
function add(vertex){
if (vertex instanceof Array){
for (var i=0, v=vertex; i<v.length; i++){
vertices[v[i].id]=v[i];
}
}
vertices[vertex.id]=vertex;
}
//create vertices from ids and add them to the graph
function addIds(ids){
var id;
for (var i=0; i<ids.length; i++){
id=ids[i];
vertices[id]=Vertex(id);
}
}
//create an edge between two vertices
function connect(i1, i2){
var v1=vertices[i1], v2=vertices[i2];
if (v1 && v2){
v1.adjacent.push(v2);
v2.adjacent.push(v1);
}
}
stem.vertices=vertices;
stem.add=add;
stem.addIds=addIds;
stem.connect=connect;
return stem;
}

我们走出迷宫的思路是从入口开始,遍历每个点所有相邻的点,直到找到出口。因为图可能会包含环,也就是在迷宫中会出现兜圈子的情况,所以程序中记录每个到过的点,如果再次遇上,则返回上一个点。如果遇到出口,则退出整个遍历,返回到入口,途中记录经过的每个点,并最终写出从入口到出口的路线。这不是一个最优的办法,得到的结果未必是最短的路线,但是只要入口和出口之间是连通的,就一定可以找到一条路线。

//try to walk out of the maze and print the result
function walkOut(entry, exit){
var visited = [], path = []; function walk(vertex){
if (vertex === exit) {//find the exit
path.push(vertex);
return true;
}
if (visited.indexOf(vertex) > -1) {//the vertex was visited
return false;
}
visited.push(vertex);//remember each vertex
var connected = vertex.adjacent;
var length = connected.length;
if (length === 0) {//the vertex is isolated
return false;
}
for (var i = 0; i < length; i++) {
if (walk(connected[i])) {//try each adjacent vertex
path.push(vertex);
return true;
}
}
} function printPath(){
var footprint = '';
var length = path.length;
for (var i = length - 1; i > -1; i--) {
footprint += path[i].id;
footprint += i === 0 ? '' : ' > ';
}
print(footprint);
} if (walk(entry)) {
printPath();
}
else {
print('出不去!');
}
}

我们可以试验一下这段代码走迷宫的能力。

function testMaze(){
var g=Graph();
g.addIds([1, 2, 3, 4, 5, 6]);
g.connect(1, 2);
g.connect(1, 3);
g.connect(1, 4);
g.connect(2, 3);
g.connect(3, 5); //你可以画出这个图
walkOut(g.vertices[1], g.vertices[5]);//1 > 2 > 3 > 5
walkOut(g.vertices[1], g.vertices[6]);//出不去!
walkOut(g.vertices[2], g.vertices[5]);//2 > 1 > 3 > 5
}

在现实生活中,我们当然也可以用这种笨办法走出任何一个可能走出的迷宫,只要你用笔和便签纸在每一个岔路口记下你选择的路线。

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