【BZOJ3124】[Sdoi2013]直径

Description

小Q最近学习了一些图论知识。根据课本，有如下定义。树：无回路且连通的无向图，每条边都有正整数的权值来表示其长度。如果一棵树有N个节点，可以证明其有且仅有N-1 条边。路径：一棵树上，任意两个节点之间最多有一条简单路径。我们用 dis(a,b)
表示点a和点b的路径上各边长度之和。称dis(a,b)为a、b两个节点间的距离。
直径：一棵树上，最长的路径为树的直径。树的直径可能不是唯一的。
现在小Q想知道，对于给定的一棵树，其直径的长度是多少，以及有多少条边满足所有的直径都经过该边。

Input

第一行包含一个整数N，表示节点数。
接下来N-1行，每行三个整数a, b, c ，表示点 a和点b之间有一条长度为c
的无向边。

Output

共两行。第一行一个整数，表示直径的长度。第二行一个整数，表示被所有
直径经过的边的数量。

Sample Input

6
3 1 1000
1 4 10
4 2 100
4 5 50
4 6 100

Sample Output

1110
2
【样例说明】
直径共有两条，3 到2的路径和3到6的路径。这两条直径都经过边(3, 1)和边(1, 4)。

HINT

对于100%的测试数据：2≤N≤200000，所有点的编号都在1..N的范围内，
边的权值≤10^9。

题解：网上都说这题是结论题，吓傻了~

第一问随便求，直接说第二问。

首先，正难则反，统计被所有直径都经过的边有点困难，我们可以统计那些边被至少一条直径错过。我们在求直径的时候可以维护每个点子树中深度的最大值和次大值（二者不再同一个儿子的子树中），如果最大值和次大值组合起来刚好是一条直径，那么不再这两个子树中的所有边就都一定错过了，我们在DFS序上打一个标记即可（用差分）。但是有一个问题，最大值和次大值组合起来不一定是唯一的直径，可能最大值和次次大值也能组合起来成为直径，还有次次次。。。。不过我们有必要把这些都记录下来吗？显然没有，我们只需要记录最大，次大，次次大即可，这3个儿子的组合已经足以“淘汰”掉剩余的所有儿子。（这里需要自己思考一下）

但是这还不够，我们刚才讨论只是直径上的最高点，还要继续考虑下面的边。这里需要记录h[x]代表x子树外的点到x的最远距离，如果x子树内的深度最大值和h[x]能组成一条直径，那么我们就可以将x的其他儿子全都淘汰掉。但是同上，我们还需要看一下最大值也是否应该被淘汰掉，所以用h[x]和次大值组合一下就行了。

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn=200010;

int n,cnt,ans;

int to[maxn<<1],next[maxn<<1],head[maxn],fa[maxn],p[maxn],q[maxn],Q[maxn];

ll len,val[maxn<<1],dep[maxn],lf[maxn],g[maxn][3],h[maxn],s[maxn];

inline int rd()

{

	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();

	while(gc<'0'||gc>'9')	{if(gc=='-')f=-f;	gc=getchar();}

	while(gc>='0'&&gc<='9')	ret=ret*10+gc-'0',gc=getchar();

	return ret*f;

}

inline void add(int a,int b,int c)

{

	to[cnt]=b,val[cnt]=c,next[cnt]=head[a],head[a]=cnt++;

}

inline void pushup(int x,int y)

{

	if(lf[y]>lf[g[x][0]])	g[x][2]=g[x][1],g[x][1]=g[x][0],g[x][0]=y;

	else	if(lf[y]>lf[g[x][1]])	g[x][2]=g[x][1],g[x][1]=y;

	else	if(lf[y]>lf[g[x][2]])	g[x][2]=y;

}

void dfs(int x)

{

	p[x]=++Q[0],Q[Q[0]]=x;

	lf[x]=dep[x];

	for(int i=head[x],y;i!=-1;i=next[i])	if(to[i]!=fa[x])

	{

		y=to[i],fa[y]=x,dep[y]=dep[x]+val[i],dfs(y),lf[x]=max(lf[x],lf[y]),pushup(x,y);

	}

	len=max(len,lf[g[x][0]]+lf[g[x][1]]-2*dep[x]);

	q[x]=Q[0];

}

inline void sumup(int a,int b)

{

	if(a<=b)	s[a]++,s[b+1]--;

}

inline void updata(int x,int a,int b)

{

	sumup(1,p[x]),sumup(q[x]+1,n);

	if(p[a]>p[b])	swap(a,b);

	sumup(p[x]+1,p[a]-1),sumup(q[a]+1,p[b]-1),sumup(q[b]+1,q[x]);

}

int main()

{

	n=rd();

	int i,x,y,a,b,c;

	memset(head,-1,sizeof(head));

	for(i=1;i<n;i++)	a=rd(),b=rd(),c=rd(),add(a,b,c),add(b,a,c);

	dfs(1);

	for(i=1;i<=n;i++)

	{

		x=Q[i],y=fa[x];

		if(lf[g[x][0]]+lf[g[x][1]]-2*dep[x]==len)	updata(x,g[x][0],g[x][1]);

		if(lf[g[x][0]]+lf[g[x][2]]-2*dep[x]==len)	updata(x,g[x][0],g[x][2]);

		if(lf[g[x][1]]+lf[g[x][2]]-2*dep[x]==len)	updata(x,g[x][1],g[x][2]);

		if(x==g[y][0])	h[x]=max(h[y],lf[g[y][1]]-dep[y]*2);

		else	h[x]=max(h[y],lf[g[y][0]]-dep[y]*2);

		if(h[x]+lf[x]!=len)	s[p[x]]++,s[p[x]+1]--;

		if(h[x]+lf[g[x][0]]==len)	sumup(p[x]+1,p[g[x][0]]-1),sumup(q[g[x][0]]+1,q[x]);

		if(h[x]+lf[g[x][1]]==len)	sumup(p[x]+1,p[g[x][1]]-1),sumup(q[g[x][1]]+1,q[x]);

	}

	for(i=1;i<=n;i++)	s[i]+=s[i-1],ans+=(i!=1)&&(!s[i]);

	printf("%lld\n%d",len,ans);

	return 0;

}