【bzoj2118&洛谷P2371】墨墨的等式（最短路神仙题）

　　题目传送门：bzoj2118 洛谷P2371

　　这道题看了题解后才会的。。果然是国家集训队的神仙题，思维独特。

　　首先若方程$ \sum_{i=1}^{n}a_ix_i=k $有非负整数解，那么显然对于每一个$ a_i $方程$ \sum_{i=1}^{n}a_ix_i=k $都必有非负整数解。于是若取$ Min=\min(a_i) $，那么对于任意$ j \in [0,min) $，若对于自然数数$ k $，$ \sum_{i=1}^{n}a_ix_i=k (k \equiv j (mod \ Min)) $有解，则对于一切自然数$ B>k(B \equiv j (mod \ Min)) $，方程$ \sum_{i=1}^{n}a_ix_i=k $都必有解。因此，我们只需对每一个$ j $求出对应的$ k $值。（我代码中实际求的是$ k/Min $，取$ Min $是为了让状态数尽可能小）

　　但是，这个值怎么求呢？根据上文，若$ \sum_{i=1}^{n}a_ix_i=k $，则我们可以尝试将$ k $分别加上每一个$ a_i $得到新的合法数值。这其实相当于对于每一个$ i \in [1,n] $，从$ k $向$ (k+a_i)mod \ Min $连一条长度为$ a_i $的边。同时，我们要使$ k $尽可能小，所以要在原图中跑最短路求解。

　　代码：

　　dijkstra+堆（这个如果dijkstra写得不好在洛谷上会tle）

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define lowbit(x) (x& -x)
#define mod 1000000000
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-18
#define maxn 5010
inline ll read(){ll tmp=; char c=getchar(),f=; for(;c<''||''<c;c=getchar())if(c=='-')f=-; for(;''<=c&&c<='';c=getchar())tmp=(tmp<<)+(tmp<<)+c-''; return tmp*f;}
inline ll power(ll a,ll b){ll ans=; for(;b;b>>=){if(b&)ans=ans*a%mod; a=a*a%mod;} return ans;}
inline ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void swap(int &a,int &b){int tmp=a; a=b; b=tmp;}
struct data{
    int id,dis;
    friend bool operator < (data a,data b){
        return a.dis>b.dis;
    }
};
std::priority_queue<data>heap;
struct edge{
    int to,nxt,d;
}e[];
int fir[],mark[],dist[];
int a[];
int n,m,tot=;
ll l,r;
void add(int x,int y,int z){e[tot].to=y; e[tot].d=z; e[tot].nxt=fir[x]; fir[x]=tot++;}
void dij(int S)
{
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    memset(mark,,sizeof(mark));
    data now; now.id=S; now.dis=; heap.push(now);
    while(!heap.empty()){
        now=heap.top(); heap.pop();
        if(mark[now.id])continue;
        mark[now.id]=; dist[now.id]=now.dis;
        for(int i=fir[now.id];~i;i=e[i].nxt)
            if(!mark[e[i].to]){
                data tmp; tmp.id=e[i].to; tmp.dis=dist[now.id]+e[i].d;
                heap.push(tmp);
            }
//        printf("A\n");
    }
}
int main()
{
    memset(fir,,sizeof(fir));
    n=read(); l=read(); r=read();
    int mn=inf;
    for(int i=;i<=n;i++)
        a[i]=read(),mn=min(mn,a[i]);
    for(int i=;i<mn;i++)
        for(int j=;j<=n;j++){
            int nxt=i+a[j];
            add(i,nxt%mn,nxt/mn);
        }
    dij();
//    for(int i=0;i<mn;i++)printf("%d %d\n",i,dist[i]);
    ll ans=;
    for(int i=;i<mn;i++)
        if(1ll*dist[i]*mn+i<=r){
            ll L=max(dist[i]*mn+i,l),R=r;
            if(L/mn<R/mn){
                ans+=R/mn-L/mn-;
                if(L<=L/mn*mn+i&&L/mn*mn+i<=R)++ans;
                if(L<=R/mn*mn+i&&R/mn*mn+i<=R)++ans;
            }
            else if(L<=L/mn*mn+i&&L/mn*mn+i<=R)++ans;
//             printf("*** %d %lld %lld %lld\n",i,ans,L,R);
        }
    printf("%lld\n",ans);
}

bzoj2118&&洛谷P2371

　　spfa（这个就很清真了，跑得飞快）

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define lowbit(x) (x& -x)
#define mod 1000000000
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-18
#define maxn 5010
inline ll read(){ll tmp=; char c=getchar(),f=; for(;c<''||''<c;c=getchar())if(c=='-')f=-; for(;''<=c&&c<='';c=getchar())tmp=(tmp<<)+(tmp<<)+c-''; return tmp*f;}
inline ll power(ll a,ll b){ll ans=; for(;b;b>>=){if(b&)ans=ans*a%mod; a=a*a%mod;} return ans;}
inline ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void swap(int &a,int &b){int tmp=a; a=b; b=tmp;}
using namespace std;
struct edge{
    int to,nxt,d;
}e[];
int fir[],inq[],dist[];
int q[];
int a[];
int n,m,tot=;
ll l,r;
void add(int x,int y,int z){e[tot].to=y; e[tot].d=z; e[tot].nxt=fir[x]; fir[x]=tot++;}
void spfa(int S)
{
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    memset(inq,,sizeof(inq));
    int h=,t=; q[]=S; inq[S]=; dist[S]=;
    while(h<=t){
        for(int i=fir[q[h]];~i;i=e[i].nxt)
            if(dist[q[h]]+e[i].d<dist[e[i].to]){
                dist[e[i].to]=dist[q[h]]+e[i].d;
                if(!inq[e[i].to]){
                    q[++t]=e[i].to; inq[e[i].to]=;
                }
            }
        inq[q[h++]]=;
    }
}
int main()
{
    memset(fir,,sizeof(fir));
    n=read(); l=read(); r=read();
    int mn=inf;
    for(int i=;i<=n;i++)
        a[i]=read(),mn=min(mn,a[i]);
    for(int i=;i<mn;i++)
        for(int j=;j<=n;j++){
            int nxt=i+a[j];
            add(i,nxt%mn,nxt/mn);
        }
    spfa();
    ll ans=;
    for(int i=;i<mn;i++)
        if(1ll*dist[i]*mn+i<=r){
            ll L=max(dist[i]*mn+i,l),R=r;
            if(L/mn<R/mn){
                ans+=R/mn-L/mn-;
                if(L<=L/mn*mn+i&&L/mn*mn+i<=R)++ans;
                if(L<=R/mn*mn+i&&R/mn*mn+i<=R)++ans;
            }
            else if(L<=L/mn*mn+i&&L/mn*mn+i<=R)++ans;
        }
    printf("%lld\n",ans);
}

bzoj2118&&洛谷P2371