漫谈 Clustering (番外篇): Vector Quantization

在接下去说其他的聚类算法之前，让我们先插进来说一说一个有点跑题的东西：Vector Quantization。这项技术广泛地用在信号处理以及数据压缩等领域。事实上，在 JPEG 和 MPEG-4 等多媒体压缩格式里都有 VQ 这一步。

Vector Quantization 这个名字听起来有些玄乎，其实它本身并没有这么高深。大家都知道，模拟信号是连续的值，而计算机只能处理离散的数字信号，在将模拟信号转换为数字信号的时候，我们可以用区间内的某一个值去代替着一个区间，比如，[0, 1) 上的所有值变为 0 ，[1, 2) 上的所有值变成 1 ，如此类推。其这就是一个 VQ 的过程。一个比较正式一点的定义是：VQ 是将一个向量空间中的点用其中的一个有限子集来进行编码的过程。

一个典型的例子就是图像的编码。最简单的情况，考虑一个灰度图片，0 为黑色，1 为白色，每个像素的值为 [0, 1] 上的一个实数。现在要把它编码为 256 阶的灰阶图片，一个最简单的做法就是将每一个像素值 x 映射为一个整数 floor(x*255) 。当然，原始的数据空间也并不以一定要是连续的。比如，你现在想要把压缩这个图片，每个像素只使用 4 bit （而不是原来的 8 bit）来存储，因此，要将原来的 [0, 255] 区间上的整数值用 [0, 15] 上的整数值来进行编码，一个简单的映射方案是 x*15/255 。

VQ 2

不过这样的映射方案颇有些 Naive ，虽然能减少颜色数量起到压缩的效果，但是如果原来的颜色并不是均匀分布的，那么的出来的图片质量可能并不是很好。例如，如果一个 256 阶灰阶图片完全由 0 和 13 两种颜色组成，那么通过上面的映射就会得到一个全黑的图片，因为两个颜色全都被映射到 0 了。一个更好的做法是结合聚类来选取代表性的点。

实际做法就是：将每个像素点当作一个数据，跑一下 K-means ，得到 k 个 centroids ，然后用这些 centroids 的像素值来代替对应的 cluster 里的所有点的像素值。对于彩色图片来说，也可以用同样的方法来做，例如 RGB 三色的图片，每一个像素被当作是一个 3 维向量空间中的点。

用本文开头那张 Rechard Stallman 大神的照片来做一下实验好了，VQ 2、VQ 10 和 VQ 100 三张图片分别显示聚类数目为 2 、10 和 100 时得到的结果，可以看到 VQ 100 已经和原图非常接近了。把原来的许多颜色值用 centroids 代替之后，总的颜色数量减少了，重复的颜色增加了，这种冗余正是压缩算法最喜欢的。考虑一种最简单的压缩办法：单独存储（比如 100 个）centroids 的颜色信息，然后每个像素点存储 centroid 的索引而不是颜色信息值，如果一个 RGB 颜色值需要 24 bits 来存放的话，每个（128 以内的）索引值只需要 7 bits 来存放，这样就起到了压缩的效果。

VQ 100

VQ 10

实现代码很简单，直接使用了 SciPy 提供的 kmeans 和 vq 函数，图像读写用了 Python Image Library ：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

#!/usr/bin/python   from scipy.cluster.vq import kmeans, vq from numpy import array, reshape, zeros from mltk import image   vqclst = [2, 10, 100, 256]   data = image.read('example.jpg') (height, width, channel) = data.shape   data = reshape(data, (height*width, channel)) for k in vqclst: print 'Generating vq-%d...' % k (centroids, distor) = kmeans(data, k) (code, distor) = vq(data, centroids) print 'distor: %.6f' % distor.sum() im_vq = centroids[code, :] image.write('result-%d.jpg' % k, reshape(im_vq, (height, width, channel)))

当然，Vector Quantization 并不一定要用 K-means 来做，各种能用的聚类方法都可以用，只是 K-means 通常是最简单的，而且通常都够用了。