P2158 [SDOI2008]仪仗队 欧拉函数模板

题目描述

作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。

现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

输入输出格式

输入格式：

共一个数N

输出格式：

共一个数，即C君应看到的学生人数。

输入输出样例

输入样例#1：

4

输出样例#1：

9

说明

【数据规模和约定】

对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 40000

题解：

欧拉函数PHI(n)表示的是比n小，并且与n互质的正整数的个数(包括1)

对与这个题来说，我们讲起始点为原点，将正方形分割为2个三角形 ，那么从2开始向上每行的数量等于他的欧拉函数，

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int size=40010,N=40010;
const int MAXN=40010;
int gcd(int a,int b) {
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int euler[size];
int phi[MAXN],prime[MAXN],mark[MAXN];
void Init()//O(n^2)
{
    memset(euler,0,sizeof(euler));
    euler[1]=1;
    for(int i=2;i<size;i++)
        if(!euler[i])
            for(int j=i;j<size;j+=i)
            {
                if(!euler[j])
                    euler[j]=j;
                euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
            }
}
int tot;
void getphi()//这个复杂度好像是O(n)
{
    int i,j;
    phi[1]=1;
    for(i=2;i<=N;i++)//相当于分解质因式的逆过程
    {
        if(!mark[i])
        {
            prime[++tot]=i;//筛素数的时候首先会判断i是否是素数。
            phi[i]=i-1;//当 i 是素数时 phi[i]=i-1
        }
        for(j=1;j<=tot;j++)
        {
            if(i*prime[j]>N)  break;
            mark[i*prime[j]]=1;//确定i*prime[j]不是素数
            if(i%prime[j]==0)//接着我们会看prime[j]是否是i的约数
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;
            }
            else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//其实这里prime[j]-1就是phi[prime[j]]，利用了欧拉函数的积性
        }
    }
}
 
int main()
{
    int a;
    scanf("%d",&a);
    Init();
    getphi();
    if(a==1)
        printf("%d\n",0);
    else
    {
        int ans=0;
        for (int i = 3; i <=a ; ++i) {
            ans+=phi[i-1];
        }
        printf("%d\n",ans*2+3);
    }
 
    return 0;
}