U19464 山村游历(Wander) LCT维护子树大小

$\color{#0066ff}{ 题目描述 }$

在一个偏远的小镇上，有一些落后的山村。山村之间通过一些道路来连接。当然有的山村可能不连通。

一年当中会发生很多大事，比如说有人提议要在山村$i$与$j$之间修建一条道路，也有人觉得山村$i$和$j$之间的道路需要被拆掉。

由于小镇的落后，镇长不会允许存在两个山村$i,j$，他们存在超过一条路径到达对方。也就是说，假如在修建山村$i,j$之间的道路之前，它们已经连通了，那么这条道路就不会被修建。

但拆除道路就不一样了。假如有人建议拆除连接$i,j$的道路，并且$i,j$的确有道路相连的话，镇长就会把它拆掉。

除了道路的修建与拆迁外，热情的山村人也会到处拜访其他人。有的时候来自山村$i$的人会想到山村$j$玩。

但山村人都是不识路的，那怎么办？他们有一种奇怪的遍历方式。

设一次旅行的起点为S，终点为T，点u的边集为V(i)，那么这个走路过程可以用下面的伪代码来表示。

function DFS(u)

    if u==T then

        finish search

    flag[u]<-true

    random shuffle the vertices order in V(u)

        //here all permutations have equal probability to be chosen

    for i in V(u) do

        if flag[i]==false then

            count++;

            DFS(i);

    count++;

最后count就是这次旅行所花时间。

很显然对于一次旅行，count可能有多种取值，那么对于这次旅行时间的评估，就是count的期望。

对于每次旅行，你都要告诉山村人他这次旅行时间的评估是多少。

一开始所有的山村之间都是没有道路连接的。

update:伪代码好难看，来个cpp......

int count=0;

void dfs(int u)

{

    if(u==T)cout<<count,exit(0);

    flag[u]=true;

    random_shuffle(V[u],V[u]+len[u]);

    for(i=0;i<len[u];++i)

        if(!flag[V[i]])count++,dfs(V[i]);

    count++;

}

$\color{#0066ff}{输入格式}$

第一行两个整数$N,Q$，表示小镇上总共有$N$个山村，一年中发生了$Q$件大事。

接下来$Q$行，每行包括三个整数$type,u,v$。

若$type=0$，表示有人建议在$u,v$之间修建一条道路。
若$type=1$，表示有人建议拆除$u,v$之间的道路。
若$type=2$，表示山村人要进行一次$u$出发到$v$结束的旅行。

$\color{#0066ff}{输出格式}$

输出共Q行。

对于第i件大事，若$type=0$或$1$，假如这件大事能完成，则输出OK，否则输出ILLEGAL。若$type=2$，假如这次旅行能到达终点，则输出对应的时间评估，否则输出ILLEGAL。

对于每个时间评估，输出保留4位小数。

$\color{#0066ff}{输入样例}$

$\color{#0066ff}{输出样例}$

OK

OK

ILLEGAL

2.0000

OK

3.0000

ILLEGAL

OK

ILLEGAL

$\color{#0066ff}{数据范围与提示}$

对于$100\%$的数据，$N≤100000,Q≤300000,1≤u,v≤N$

$\color{#0066ff}{ 题解 }$

这些人走的方式比较nb

简单来说，对于一条路径$s\to t$

↑图片来自FlashHu

如果进了某棵子树，那么一定会走完，代价就是进去再回来的总步数

我们设在当前点走正确方向的概率为p

那么答案为$\begin{aligned}\sum_{i=1}^n2ps_i+\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n2pa_{ij}\end{aligned}$

现在考虑p是啥

因为边的生成方式是排列，对于一个排列，有且仅有一个排列与其相反，如果有一个排列使得某条边在另一条边前面，那么必定存在一个排列使得在后面，因此概率$p=\frac 1 2$

于是。。。TM答案是整数啊

我们用LCT维护子树，一个是虚子树，一个是总共的

发现答案中是没有t的子树什么事的

所以最后让T到最上面，用T的tot减去T的虚子树部分再减去1（自己）即可

应该是有不合法数据吧。。。在cut的时候如果不判断x是否有右孩子会WA

#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long

LL in() {

    char ch; LL x = 0, f = 1;

    while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);

    for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));

    return x * f;

}

const int maxn = 1e5 + 10;

struct LCT {

protected:

    struct node {

        node *ch[2], *fa;

        int tot, siz, rev;

        node(int tot = 1, int siz = 0, int rev = 0)

            : tot(tot), siz(siz), rev(rev) { ch[0] = ch[1] = fa = NULL; }

        void trn() { std::swap(ch[0], ch[1]), rev ^= 1; }

        void upd() {

            tot = siz + 1;

            if(ch[0]) tot += ch[0]->tot;

            if(ch[1]) tot += ch[1]->tot;

        }

        void dwn() {

            if(!rev) return;

            if(ch[0]) ch[0]->trn();

            if(ch[1]) ch[1]->trn();

            rev = 0;

        }

        bool ntr() { return fa && (fa->ch[0] == this || fa->ch[1] == this); }

        bool isr() { return this == fa->ch[1]; }

    }pool[maxn];

    void rot(node *x) {

        node *y = x->fa, *z = y->fa;

        bool k = x->isr(); node *w = x->ch[!k];

        if(y->ntr()) z->ch[y->isr()] = x;

        (x->ch[!k] = y)->ch[k] = w;

        (y->fa = x)->fa = z;

        if(w) w->fa = y;

        y->upd(), x->upd();

    }

    void splay(node *o) {

        static node *st[maxn];

        int top;

        st[top = 1] = o;

        while(st[top]->ntr()) st[top + 1] = st[top]->fa, top++;

        while(top) st[top--]->dwn();

        while(o->ntr()) {

            if(o->fa->ntr()) rot(o->isr() ^ o->fa->isr()? o : o->fa);

            rot(o);

        }

    }

    void access(node *x) {

        for(node *y = NULL; x; x = (y = x)->fa) {

            splay(x);

            if(x->ch[1]) x->siz += x->ch[1]->tot;

            x->ch[1] = y;

            if(y) x->siz -= y->tot;

            x->upd();

        }

    }

    void makeroot(node *o) { access(o), splay(o), o->trn(); }

    node *findroot(node *o) {

        access(o), splay(o);

        while(o->dwn(), o->ch[0]) o = o->ch[0];

        return o;

    }

public:

    bool link(int l, int r) {

        node *x = pool + l, *y = pool + r;

        if(findroot(y) == findroot(x)) return false;

        makeroot(x), access(y), splay(y);

        (x->fa = y)->siz += x->tot;

        y->upd();

        return true;

    }

    bool cut(int l, int r) {

        node *x = pool + l, *y = pool + r;

        if(findroot(x) != findroot(y)) return false;

        makeroot(x), access(y), splay(y);

        if(y->ch[0] == x && !x->ch[1]) return y->ch[0] = x->fa = NULL, true;

        return false;

    }

    int query(int l, int r) {

        node *x = pool + l, *y = pool + r;

        if(findroot(y) != findroot(x)) return -1;

        makeroot(x), access(y), splay(y);

        return y->tot - y->siz - 1;

    }

}s;

int n, m;

int main() {

    n = in(), m = in();

    int p, x, y;

    while(m --> 0) {

        p = in(), x = in(), y = in();

        if(p == 0) printf(s.link(x, y)? "OK\n" : "ILLEGAL\n");

        if(p == 1) printf(s.cut(x, y)? "OK\n" : "ILLEGAL\n");

        if(p == 2) {

            x = s.query(x, y);

            if(x == -1) printf("ILLEGAL\n");

            else printf("%d.0000\n", x);

        }

    }

    return 0;

}