洛谷 P1082 同余方程（同余&&exgcd）

嗯...

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1082

这道题很明显涉及到了同余和exgcd的问题，下面推导一下：

首先证明有解情况：

　　　　ax + by = m有解的必要条件是 m mod gcd(a, b) = 0

　　　　a为gcd(a, b)的倍数，b为gcd(a, b)的倍数，x、y为整数，

　　　　所以ax + by是gcd(a, b)的倍数，所以m是gcd(a, b)的倍数

然后证明a、b互质（下面会用到）：

　　　　本题中1 mod gcd(a, b) = 0，所以gcd(a, b)  = 1，所以a、b互质

同余：

　　　　a≡b(mod n) --> 含义：a和b关于模n同余，即 a mod n = b mod n。

　　　　所以不难推出，a≡b的充要条件是a-b是n的整数倍（a > b）。

　　　　因为a-b是n的整数倍，所以a-b = ny（y为倍数）

所以，根据同余，我们可以把本题中的同余式转化为（注：这里的a.b与上文不同）：

　　　　ax≡1(modb)  --> ax % b = 1 % b --> ax - 1 = by --> ax - by = 1

下一步，便进行exgcd（关于exgcd的证明见：https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1082），分别求出ax - by = 1中x和y的值。

最后进行答案处理：

　　　　因为答案要求是x的最小正整数，所以我们进行一个答案处理：x = (x % b + b) % b

证明其正确性：

　　　　设新得到的x为xn，x = kb + q（q < b）则：

　　　　x % b = q ，把x % b = q带入 xn = (x % b + b) % b，得

　　　　xn = (x % b + b) % b = (q + b) % b = (q % b + b % b) % b = q % b = q

　　　　 把xn = q带入x = kb + q，得，x = kb + xn， 所以xn = x - kb，然后再根据下面的推导得知它是正确的...

证明：　　　　

　　　　x批量地减去或加上 b，能保证 ax + by = ax + by = 1：

　　　　ax + by = 1

　　　　ax + by + k*ba - k*ba = 1

　　　　a (x + kb) + (y - ka) b = 1

　　　　1.显然这并不会把方程中任何整数变成非整数。

　　　　2.“加上或减去 b”不会使 x 错过任何解。可以这么理解：

　　　　已经求出一组整数 x,y 使得 ax+by =1 ，也就是(1 - ax) / b = y。y 是整数，可见目前 1−ax 是 b 的倍数。现在想改变 x并使得方程仍然成立。

　　　　已知 a,b 互质，假若x的变化量Δx不是b的倍数，则1−ax 的变化量−a*Δx也不是 bb 的倍数，这会使得1-ax不再是b的倍数，则y不是整数了。

　　　　仅当x的变化量是b的倍数时，1−ax能保持自己是b的倍数，此时就出现新的解了。

AC代码：

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 
 using namespace std;
 //ax % b == 1 % b --> ax - 1 = y * b --> ax - yb == 1
 
 long long d, x, y;
 
 inline void exgcd(long long a, long long b, long long &d, long long &x, long long &y){
     if(!b) {d = a; x = ; y = ;}
     else{ exgcd(b, a % b, d, y, x); y -= x * (a / b);}
 }
 int main(){
     long long a,b;
     scanf("%lld%lld", &a, &b);
     exgcd(a, b, d, x, y);
     x = (x % b + b) % b;
     printf("%lld", x);
     return ;
 }

AC代码