KMP算法

对于串s[1..n],我们定义fail[i]表示以串s[1..i]的最长公共真前后缀

我们首先考虑对于模式串p,如何计算出它的fail数组。定义fail[0]=-1。

  • 根据“真前后缀”的条件,容易得到fail[1]=0
  • 对于任意的i>1,显然在s[fail[i-1]+1]==s[i]的时候,我们有fail[i]=fail[i-1]
  • 如果s[fail[i-1]+1]!=s[i],那么我们需要去尝试s[fail[fail[i-1]]+1]是否与s[i]相等,否则再继续下去。

这是因为我们最终要找的是s[1..i]的最长公共前后缀,如果它不是由s[1..i-1]的最长公共前后缀扩增而来,那么它一定是由s[1..fail[i-1]]的最长公共前后缀扩增而来。毕竟,最长公共前后缀包含了若干个公共前后缀。即s[1..fail[i-1]]的最长公共前后缀也是s[1..i-1]的一个公共前后缀,虽然它未必最长。

// Build fail array for pattern string
for(int i=;i<=m;i++) {
fail[i]=fail[i-];
while(p[fail[i]+]-p[i] && fail[i]) fail[i]=fail[fail[i]];
if(p[fail[i]+]==p[i]) ++fail[i];
}
  fail[0]=-1;

预处理完毕后,匹配过程与其大同小异。

我们需要定义两个指针i,j,指向当前希望要匹配的两个字符。

如果s[i]!=p[j],则需要将模式串向右滑移,即j=fail[j-1]+1。当然如果j=0了,则重设j=1,并将模式串起点向右移动一位。

如果s[i]==p[j],当模式串没有匹配完全即j<m时,将两个指针同时向右移动即可。如果匹配完了,则报告一个结果,并将模式串按j=fail[j-1]+1进行滑移,以便于进行下一次匹配。

for(int i=,j=;i<=n;) {
if(s[i]==p[j]) {
if(j<m) ++i,++j;
else {
cout<<i-m+<<endl;
j=fail[j-]+;
}
}
else {
j=fail[j-]+;
if(j<=) j=,i++;
}
}

算法总体复杂度O(n+m)。

完整模板:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; char s[],p[];
int n,m,fail[]; int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>s+>>p+;
n=strlen(s+); m=strlen(p+);
// Build fail array for pattern string
for(int i=;i<=m;i++) {
fail[i]=fail[i-];
while(p[fail[i]+]-p[i] && fail[i]) fail[i]=fail[fail[i]];
if(p[fail[i]+]==p[i]) ++fail[i];
} fail[]=-;
for(int i=,j=;i<=n;) {
if(s[i]==p[j]) {
if(j<m) ++i,++j;
else {
cout<<i-m+<<endl;
j=fail[j-]+;
}
}
else {
j=fail[j-]+;
if(j<=) j=,i++;
}
}
for(int i=;i<=m;i++) cout<<(fail[i]<?:fail[i])<<" ";
cout<<endl;
}

#10046. 「一本通 2.2 练习 2」OKR-Periods of Words

容易发现这里我们要的其实是每个前缀减去最短的Border。类似并查集一样路径压缩一下即可。需要注意一些细节防止死循环。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; char s[], p[];
int n, m, fail[]; int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> m;
cin >> p + ;
// Build fail array for pattern string
long long ans = ;
fail[] = ;
for (int i = ; i <= m; i++) {
fail[i] = fail[i - ];
while (p[fail[i] + ] - p[i] && fail[i]) fail[i] = fail[fail[i]];
if (p[fail[i] + ] == p[i])
++fail[i];
}
fail[] = -;
for (int i = ; i <= m; i++) {
int j = i;
while (fail[j] > ) j = fail[j];
ans += i - j;
if (fail[i])
fail[i] = j;
}
cout << ans << endl;
}

#10047. 「一本通 2.2 练习 3」似乎在梦中见过的样子

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; char s[],p[];
int n,m,k,fail[],f[];
long long ans = ; int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>p+>>k;
m=strlen(p+);
while(m) {
for(int i=;i<=m;i++) {
fail[i]=fail[i-];
while(p[fail[i]+]-p[i] && fail[i]) fail[i]=fail[fail[i]];
if(p[fail[i]+]==p[i]) ++fail[i];
if(f[fail[i]]) f[i]=f[fail[i]];
else if(fail[i]>=k) f[i]=fail[i];
else f[i]=;
if(f[i] && (f[i]*)<i) ++ans;
}
--m;
for(int i=;i<=m;i++) p[i]=p[i+];
memset(fail,,sizeof fail);
memset(f,,sizeof f);
}
cout<<ans<<endl;
}

#10048. 「一本通 2.2 练习 4」Censoring

搞个栈记录输出,顺便存下每个被输出点匹配到模式串的哪个位置

这样如果匹配就弹掉栈顶几个,并读取新栈顶原先匹配到了哪个位置,接下去匹配即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; char s[],p[];
int n,m,fail[],sta[],staj[],top; int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>s+>>p+; n=strlen(s+); m=strlen(p+);
for(int i=;i<=m;i++) {
fail[i]=fail[i-];
while(p[fail[i]+]-p[i] && fail[i]) fail[i]=fail[fail[i]];
if(p[fail[i]+]==p[i]) ++fail[i];
} fail[]=-;
for(int i=,j=;i<=n;) {
if(s[i]==p[j]) {
if(j<m) ++top,sta[top]=i,staj[top]=j,++i,++j;
else top-=m-,j=staj[top]+,++i;
}
else {
j=fail[j-]+;
if(j<=) ++top,sta[top]=i,staj[top]=j,i++;
}
}
for(int i=;i<=top;i++) cout<<s[sta[i]];
cout<<endl;
}

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
char s[100005],p[100005];int n,m,k,fail[100005],f[100005];long long ans = 0;
int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin>>p+1>>k;m=strlen(p+1);while(m) {        for(int i=2;i<=m;i++) {            fail[i]=fail[i-1];            while(p[fail[i]+1]-p[i] && fail[i]) fail[i]=fail[fail[i]];            if(p[fail[i]+1]==p[i]) ++fail[i];            if(f[fail[i]]) f[i]=f[fail[i]];            else if(fail[i]>=k) f[i]=fail[i];            else f[i]=0;            if(f[i] && (f[i]*2)<i) ++ans;        }        --m;        for(int i=1;i<=m;i++) p[i]=p[i+1];        memset(fail,0,sizeof fail);        memset(f,0,sizeof f);}cout<<ans<<endl;}

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