幸好我没有打这场,我VP的时候在C题就卡死了,我果然还是太菜了。

A Vasya and Chocolate

题意:一个巧克力\(c\)元,买\(a\)赠\(b\),一共有\(n\)元,问能买几个巧克力。

小学数学题。

B Vasya and Isolated Vertices

题意:\(n\)个点\(m\)条边的无向简单图最多和最少有几个不和任意点联通的点。

最少很好算,让每条边连接两个独立的点,答案就是\(n-2m\)。

最多的话,就是让联通的点尽量组成完全图,这样消耗的边数最多,枚举有几个点在完全图中,看是否合法就行。

C Make It Equal

题意:有\(n\)个柱子,第\(i\)的柱子由\(a_i\)个方块组成,定义操作为把高度大于\(H\)的方块去掉,定义一个操作是好的当且仅当去掉的方块不超过\(K\),求最少要多少次操作才能使所有柱子都一样。

可以先排一次序,然后枚举\(H\),看是否可行。但是我写挂了\(7\)次……

D Three Pieces

题意:在一个\(N\times N(N\le 10)\)的棋盘中,每个格子里有标号,要求按标号顺次遍历每个点,你只有车,马,相这三种棋子(国际象棋),每次要么是移动一个棋子,要么是将棋子换成其他种类,求最小的移动数和在此移动数下最小的交换数。

暴力搜索?

先预处理出状态\((x,y,p)\)间的最短路,再DP。

不过这个题比较码农,很难写难调,浪费了我好几个小时,还是要加强写码农题的能力。

E Side Transmutations

题意:定义操作为:将字符串\(S\)的前\(k\)个字符和后\(k\)个字符对称交换\((k\in B)\),两个字符串相等当且仅当两个字符串的可以经过若干次操作后一样,求不同的字符串数。

找规律?

可以发现,操作两次相当于没操作,所以可以把操作划分为\((0,B_1),(B_1,B_2),..,(B_{n-1},B_{n})\)这些段,然后就可以组合计数了,设\(cnt_i\)为长度为\(i\)的字符串对\((x,y)\)且\(x\le y\)的数量,那么,第\(i\)段能填的字符串数就是\(cnt_{len_i}\)。以及没有被覆盖的部分能填的字符串有\(|A|^L\)种。\(cnt\)就是所有的字符串对加上相等的字符串对再除以2。所以,最终答案是:

\[cnt_{b_1}\cdot \prod_{i=2}^n cnt_{b_i-b_{i-1}}\cdot |A|^{L-2b_{n}}, cnt_i = \frac{|A|^{2i}+|A|^i}{2}
\]

F Up and Down the Tree

题意:给定一个有根树,每次可以进行如下操作:若在非叶子节点,走到该节点子树中的一个叶子节点,否则,向上不超过\(K\)下,问从根出发能到达多少个叶子。

树上贪心?DP?

首先计算\(drev(v)\),表示我们在必须回到点\(v\)的情况下,在\(v\)的子树中的收益和能到达的最小的高度。一个简单的树形DP就行了。之后,我们需要计算不必要回到点\(v\)的收益,这时,考虑每个孩子,容易发现答案是先走其他孩子,然后再找一个孩子走向不归路,这里在实现的时候还有一个补集的思想。

G Fibonacci Suffix

题意:定义斐波那契字符串序列为:

\[F_0=\mbox{0},F_1 =\mbox{1}, F_i = F_{i-2}+F_{i-1}
\]

其中,\(+\)代表连接两个字符串,求第\(n(n\le 200)\)个斐波那契字符串的字典序第\(k(k\le 10^{18})\)小后缀的前\(m(m\le 200)\)位。

字符串神仙题。

首先,再不考虑时空限制的情况下,我们可以把\(F(n)\)的每个后缀塞到Trie树里暴力跑。

但是,现实不总是那么美好的,我们需要优化这个思路。注意到\(F\)是递归的,所以可能不用塞每个后缀就可以表示所有后缀,我们每次可以在\(F_{i-2}\)的后缀树上的每个关键节点后面挂一个\(F_{i-1}\)的后缀树,可以借鉴AC自动机的思想重复利用节点。

题解的思路是进行\(m\)次计算,每次确定答案的下一位。

核心函数build(string& s)有4部分:

  1. 计算snext数组
  2. 利用next数组计算s的Trie图
  3. 将Trie图复制一份作为Fibonacci自动机的底版并预处理辅助自动机
  4. 构建Fibonacci自动机和一个辅助自动机

Fibonacci自动机F[i][j]表示在一个Trie图上,i节点之后增加\(F_j\)后转移到的节点。

辅助自动机Cnt[i][j]表示\(S_{i..|S|}\)在\(F_j\)构成的原始Trie树上的孩子数,初值为Cnt[s.len][s.end]=1,然后在Fibonacci自动机上跑一个小DP算出来Cnt

主过程如下:(设答案为\(M\), \(k=0\)或\(|M|=m\)时退出)

  1. build(M)
  2. 如果\(M\)就是\(F_n\)的一个后缀,k--。具体体现为A3[0][n] == M.len,意义是\(F_n\)的最后\(|M|\)位是\(M\)。
  3. build(M+'0'),即钦定向'0'走。
  4. 如果M+'0'在Trie树上的孩子不少于\(k\)个,说明应该向'0'走,否则向'1'走且k-=Cnt[0][n]

这个题还是放一下代码吧。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string>
using std::string; typedef long long ll;
const int N = 210;
const ll MAX = (ll)1e18; int Trie[N][2], nxt[N], F[N][N], n, m;
ll Cnt[N][N], k; ll add(ll a, ll b) { return std::min(a + b, MAX); } void build(const string &s) {
int len = s.length();
// 1.
nxt[0] = 0;
for (int i = 1; i < len; ++i) {
int j = nxt[i - 1];
while (j > 0 && s[j] != s[i]) j = nxt[j - 1];
if (s[j] == s[i]) j++;
nxt[i] = j;
}
// 2.
for (int i = 0; i <= len; ++i) {
for (int j = 0; j < 2; ++j) {
if (i < len && s[i] == '0' + j)
Trie[i][j] = i + 1;
else if (!i)
Trie[i][j] = 0;
else
Trie[i][j] = Trie[nxt[i - 1]][j];
}
}
// 3.
for (int i = 0; i <= len; ++i) {
for (int j = 0; j < 2; ++j) {
F[i][j] = Trie[i][j];
Cnt[i][j] = (Trie[i][j] == len ? 1 : 0);
}
}
// 4.
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
for (int j = 0; j <= len; ++j) {
F[j][i] = F[F[j][i - 2]][i - 1];
Cnt[j][i] = add(Cnt[j][i - 2], Cnt[F[j][i - 2]][i - 1]);
}
}
} int main() {
std::cin >> n >> k >> m; // 读入顺序
string M = "";
for (int i = 0; i < m; ++i) {
// 1.
if (M != "") build(M);
// 2.
int x = 0;
if (M != "" && F[0][n] == i) x = 1;
if (k == 1 && x == 1) break; // 如果答案长度不到m的话就提前停止
k -= x;
// 3.
build(M + '0');
// 4.
ll ls = Cnt[0][n];
if (ls >= k) {
M += '0';
} else {
k -= ls;
M += '1';
}
}
std::cout << M << std::endl;
return 0;
}

Note

这套题不愧是educational round,实在是太有教育意义了233。

A没啥说的。

B要注意检查自己的结论是否正确,别想了个错的就开始写,到头来发现自己gg了。

C这种模拟题noip一定会出的,而且细节肯定巨多,像这次我对答案是否加1处理的不是很好,然后提交了8次才过,noip可没有8次机会啊!

D一道可怕的图论题,建图码农到爆炸,如果不是有pair这种神器可能码量还会增加,noip的时候还是要活用stl啊。以及码农题一定要仔细仔细再仔细,这次就是一个*写成了+调了30min左右,noip的时候可没有几个30min啊!!

E数学无处不在,像这种计数问题一定是组合数学题orDP题

F又是一道树形DP,分成两步求解答案的思路值得借鉴

G字符串神仙题,大大加深了我对字符串特别是自动机的理解。

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