[CodeForces]Educational Round 52

幸好我没有打这场，我VP的时候在C题就卡死了，我果然还是太菜了。

A Vasya and Chocolate

题意:一个巧克力\(c\)元，买\(a\)赠\(b\)，一共有\(n\)元，问能买几个巧克力。

小学数学题。

B Vasya and Isolated Vertices

题意:\(n\)个点\(m\)条边的无向简单图最多和最少有几个不和任意点联通的点。

最少很好算，让每条边连接两个独立的点，答案就是\(n-2m\)。

最多的话，就是让联通的点尽量组成完全图，这样消耗的边数最多，枚举有几个点在完全图中，看是否合法就行。

C Make It Equal

题意:有\(n\)个柱子，第\(i\)的柱子由\(a_i\)个方块组成，定义操作为把高度大于\(H\)的方块去掉，定义一个操作是好的当且仅当去掉的方块不超过\(K\)，求最少要多少次操作才能使所有柱子都一样。

可以先排一次序，然后枚举\(H\)，看是否可行。但是我写挂了\(7\)次……

D Three Pieces

题意:在一个\(N\times N(N\le 10)\)的棋盘中，每个格子里有标号，要求按标号顺次遍历每个点，你只有车，马，相这三种棋子（国际象棋），每次要么是移动一个棋子，要么是将棋子换成其他种类，求最小的移动数和在此移动数下最小的交换数。

暴力搜索？

先预处理出状态\((x,y,p)\)间的最短路，再DP。

不过这个题比较码农，很难写难调，浪费了我好几个小时，还是要加强写码农题的能力。

E Side Transmutations

题意:定义操作为:将字符串\(S\)的前\(k\)个字符和后\(k\)个字符对称交换\((k\in B)\)，两个字符串相等当且仅当两个字符串的可以经过若干次操作后一样，求不同的字符串数。

找规律？

可以发现，操作两次相当于没操作，所以可以把操作划分为\((0,B_1),(B_1,B_2),..,(B_{n-1},B_{n})\)这些段，然后就可以组合计数了，设\(cnt_i\)为长度为\(i\)的字符串对\((x,y)\)且\(x\le y\)的数量，那么，第\(i\)段能填的字符串数就是\(cnt_{len_i}\)。以及没有被覆盖的部分能填的字符串有\(|A|^L\)种。\(cnt\)就是所有的字符串对加上相等的字符串对再除以2。所以，最终答案是:

\[cnt_{b_1}\cdot \prod_{i=2}^n cnt_{b_i-b_{i-1}}\cdot |A|^{L-2b_{n}}, cnt_i = \frac{|A|^{2i}+|A|^i}{2}
\]

F Up and Down the Tree

题意:给定一个有根树，每次可以进行如下操作：若在非叶子节点，走到该节点子树中的一个叶子节点，否则，向上不超过\(K\)下，问从根出发能到达多少个叶子。

树上贪心？DP？

首先计算\(drev(v)\)，表示我们在必须回到点\(v\)的情况下，在\(v\)的子树中的收益和能到达的最小的高度。一个简单的树形DP就行了。之后，我们需要计算不必要回到点\(v\)的收益，这时，考虑每个孩子，容易发现答案是先走其他孩子，然后再找一个孩子走向不归路，这里在实现的时候还有一个补集的思想。

G Fibonacci Suffix

题意:定义斐波那契字符串序列为：

\[F_0=\mbox{0},F_1 =\mbox{1}, F_i = F_{i-2}+F_{i-1}
\]

其中，\(+\)代表连接两个字符串，求第\(n(n\le 200)\)个斐波那契字符串的字典序第\(k(k\le 10^{18})\)小后缀的前\(m(m\le 200)\)位。

字符串神仙题。

首先，再不考虑时空限制的情况下，我们可以把\(F(n)\)的每个后缀塞到Trie树里暴力跑。

但是，现实不总是那么美好的，我们需要优化这个思路。注意到\(F\)是递归的，所以可能不用塞每个后缀就可以表示所有后缀，我们每次可以在\(F_{i-2}\)的后缀树上的每个关键节点后面挂一个\(F_{i-1}\)的后缀树，可以借鉴AC自动机的思想重复利用节点。

题解的思路是进行\(m\)次计算，每次确定答案的下一位。

核心函数build(string& s)有4部分：

1. 计算s的next数组
2. 利用next数组计算s的Trie图
3. 将Trie图复制一份作为Fibonacci自动机的底版并预处理辅助自动机
4. 构建Fibonacci自动机和一个辅助自动机

Fibonacci自动机：F[i][j]表示在一个Trie图上，i节点之后增加\(F_j\)后转移到的节点。

辅助自动机：Cnt[i][j]表示\(S_{i..|S|}\)在\(F_j\)构成的原始Trie树上的孩子数，初值为Cnt[s.len][s.end]=1，然后在Fibonacci自动机上跑一个小DP算出来Cnt。

主过程如下：（设答案为\(M\)， \(k=0\)或\(|M|=m\)时退出)

1. build(M)
2. 如果\(M\)就是\(F_n\)的一个后缀，k--。具体体现为A3[0][n] == M.len，意义是\(F_n\)的最后\(|M|\)位是\(M\)。
3. build(M+'0')，即钦定向'0'走。
4. 如果M+'0'在Trie树上的孩子不少于\(k\)个，说明应该向'0'走，否则向'1'走且k-=Cnt[0][n]。

这个题还是放一下代码吧。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string>
using std::string;

typedef long long ll;
const int N = 210;
const ll MAX = (ll)1e18;

int Trie[N][2], nxt[N], F[N][N], n, m;
ll Cnt[N][N], k;

ll add(ll a, ll b) { return std::min(a + b, MAX); }

void build(const string &s) {
    int len = s.length();
    // 1.
    nxt[0] = 0;
    for (int i = 1; i < len; ++i) {
        int j = nxt[i - 1];
        while (j > 0 && s[j] != s[i]) j = nxt[j - 1];
        if (s[j] == s[i]) j++;
        nxt[i] = j;
    }
    // 2.
    for (int i = 0; i <= len; ++i) {
        for (int j = 0; j < 2; ++j) {
            if (i < len && s[i] == '0' + j)
                Trie[i][j] = i + 1;
            else if (!i)
                Trie[i][j] = 0;
            else
                Trie[i][j] = Trie[nxt[i - 1]][j];
        }
    }
    // 3.
    for (int i = 0; i <= len; ++i) {
        for (int j = 0; j < 2; ++j) {
            F[i][j] = Trie[i][j];
            Cnt[i][j] = (Trie[i][j] == len ? 1 : 0);
        }
    }
    // 4.
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j <= len; ++j) {
            F[j][i] = F[F[j][i - 2]][i - 1];
            Cnt[j][i] = add(Cnt[j][i - 2], Cnt[F[j][i - 2]][i - 1]);
        }
    }
}

int main() {
    std::cin >> n >> k >> m; // 读入顺序
    string M = "";
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        // 1.
        if (M != "") build(M);
        // 2.
        int x = 0;
        if (M != "" && F[0][n] == i) x = 1;
        if (k == 1 && x == 1) break;  // 如果答案长度不到m的话就提前停止
        k -= x;
        // 3.
        build(M + '0');
        // 4.
        ll ls = Cnt[0][n];
        if (ls >= k) {
            M += '0';
        } else {
            k -= ls;
            M += '1';
        }
    }
    std::cout << M << std::endl;
    return 0;
}

Note

这套题不愧是educational round，实在是太有教育意义了233。

A没啥说的。

B要注意检查自己的结论是否正确，别想了个错的就开始写，到头来发现自己gg了。

C这种模拟题noip一定会出的，而且细节肯定巨多，像这次我对答案是否加1处理的不是很好，然后提交了8次才过，noip可没有8次机会啊！

D一道可怕的图论题，建图码农到爆炸，如果不是有pair这种神器可能码量还会增加，noip的时候还是要活用stl啊。以及码农题一定要仔细仔细再仔细，这次就是一个*写成了+调了30min左右，noip的时候可没有几个30min啊！！

E数学无处不在，像这种计数问题一定是组合数学题orDP题

F又是一道树形DP，分成两步求解答案的思路值得借鉴

G字符串神仙题，大大加深了我对字符串特别是自动机的理解。