@loj - 2289@「THUWC 2017」在美妙的数学王国中畅游

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@description@

n 个点编号 0 到 n-1，每个点有一个从 [0,1] 映射到 [0,1] 的函数 f(x) 作为点权，它有以下几种形式：

正弦函数：sin(ax+b) (a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])

指数函数：e^(ax+b) (a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])

一次函数：ax+b (a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1])

有 m 个事件，种类如下：

（1）加边。

（2）删边。

（3）更改点权。

（4）询问 u 到 v 这条路径上的所有函数以 x（给定）为自变量的因变量之和。

保证一开始不存在任何边。

input

第一行两个正整数 n,m 和一个字符串 type。表示 n 个点与 m 个事件，type 是用来得部分分的。1≤n≤100000，1≤m≤200000 。

接下来 n 行，第 i 行表示编号为 i 的点的初始函数。一个整数 f 表示函数的类型，两个实数 a,b 表示函数的参数：

f=1 ,则函数为 f(x)=sin(ax+b)(a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])

f=2 ,则函数为 f(x)=e^(ax+b) (a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])

f=3 ,则函数为 f(x)=ax+b(a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1])

接下来 m 行，每行描述一个事件，事件分为四类：

appear u v：表示数学王国中出现了一条连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥 (0≤u,v<n,u ≠ v) ，保证连接前 u 和 v 这两座城市不能互相到达。

disappear u v： 表示数学王国中连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥消失了，保证这座魔法桥是存在的。

magic c f a b：表示城市 c 的魔法球中的魔法变成了类型为 f ，参数为 a,b 的函数

travel u v x：表示询问一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v （即经过 u 到 v 这条路径上的所有城市，包括 u 和 v ）后，他得分的总和是多少。若无法从 u 到达 v ，则输出一行一个字符串 unreachable。

output

对于每个询问，输出一行实数，表示答案。建议使用科学计数法表示。

sample input

3 7 C1

1 1 0

3 0.5 0.5

3 -0.5 0.7

appear 0 1

travel 0 1 0.3

appear 0 2

travel 1 2 0.5

disappear 0 1

appear 1 2

travel 1 2 0.5

sample output

9.45520207e-001

1.67942554e+000

1.20000000e+000

hint

【出题人教你学数学】

若函数 \(f(x)\) 的 \(n\) 阶导数在 \([a,b]\) 区间内连续，则对 \(f(x)\) 在 \(x_0(x_0\in[a,b])\) 处使用 n 次拉格朗日中值定理可以得到带拉格朗日余项的泰勒展开式：

\[f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)(x-x_0)}{1!}+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+ \cdots +\frac{f^{(n-1)}(x_0)(x-x_0)^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{f^{(n)}(\xi)(x-x_0)^n}{n!},x\in[a,b]
\]

其中，当 \(x>x_0\) 时，\(\xi\in[x_0,x]\)。当 \(x<x_0\) 时，\(\xi\in[x,x_0]\)。

\(f^{(n)}\) 表示函数 \(f\) 的 \(n\) 阶导数

@solution@

都加边删边了，那肯定是用 LCT 来维护了。

一次函数还好说，直接链上维护一次项系数与常数系数之和（但是竟然没有这部分的部分分？）。

考虑指数函数或是三角函数的和，这个东西是没有任何实际的意义的，无法用什么统一的数据表示。

但是题目中给的泰勒展开这玩意儿，其意义就是用多项式函数去逼近这些非多项式的函数。

那我们为什么不直接用泰勒展开来逼近就可以了？取前二十项的，误差就足够小了。

而多项式就可以直接用一次函数的方法，维护每一项的系数之和。

那么怎么求导呢？显然我一个初中生是做不来的。

直接摆公式吧：

指数函数：\(f(x) = e^x, f'(x) = e^x\)。

三角函数 sin：\(f(x) = sin(x), f'(x) = cos(x)\)。三角函数 cos：\(f(x) = cos(x), f'(x) = -sin(x)\)。

幂函数： \(f(x) = x^a, f'(x) = ax^{a-1}\)。常函数：\(f(x) = k, f'(x) = 0\)。

函数和的导数：\(h(x) = f(x) + g(x), h'(x) = f'(x) + g'(x)\)。

函数积的导数：\(h(x) = f(x)*g(x), h'(x) = f(x)*g'(x) + f'(x)*g(x)\)。

复合函数的导数：\(h(x) = f(g(x)), h'(x) = f'(g(x))*g'(x)\)。

那么对于函数 \(f(x) = e^{ax+b}\)，它的 n 阶导数为 \(f^{(n)}=a^ne^{ax+b}\)。

对于函数 \(f(x) = sin(x)\)，它的 n 阶导数的系数绝对值为 \(a^n\)，剩下的以四为循环节：\(sin(x)\)，\(cos(x)\)，\(-sin(x)\)，\(-cos(x)\)。

对于函数 \(f(x) = ax + b\)，这个就不讲了。

@accepted code@

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef double db;
const int MAXN = 100000;
struct node{
	int rev;
	node *ch[2], *fa;
	db k[20], s[20];
}pl[MAXN + 5], *ad[MAXN + 5], *NIL;
bool isroot(node *x) {return x->fa->ch[0] != x && x->fa->ch[1] != x;}
void setchild(node *x, node *y, int d) {
	if( x != NIL ) x->ch[d] = y;
	if( y != NIL ) y->fa = x;
}
void pushup(node *x) {
	for(int i=0;i<20;i++)
		x->s[i] = x->ch[0]->s[i] + x->ch[1]->s[i] + x->k[i];
}
void pushdown(node *x) {
	if( x->rev ) {
		swap(x->ch[0], x->ch[1]);
		if( x->ch[0] != NIL ) x->ch[0]->rev ^= 1;
		if( x->ch[1] != NIL ) x->ch[1]->rev ^= 1;
		x->rev = 0;
	}
}
void rotate(node *x) {
	node *y = x->fa; pushdown(y), pushdown(x);
	int d = (y->ch[1] == x);
	if( isroot(y) ) x->fa = y->fa;
	else setchild(y->fa, x, (y->fa->ch[1] == y));
	setchild(y, x->ch[!d], d);
	setchild(x, y, !d);
	pushup(y);
}
void splay(node *x) {
	pushdown(x);
	while( !isroot(x) ) {
		node *y = x->fa;
		if( isroot(y) )
			rotate(x);
		else {
			if( (y->fa->ch[1] == y) == (y->ch[1] == x) )
				rotate(y);
			else rotate(x);
			rotate(x);
		}
	}
	pushup(x);
}
void access(node *x) {
	node *y = NIL;
	while( x != NIL ) {
		splay(x);
		x->ch[1] = y;
		pushup(x);
		y = x, x = x->fa;
	}
}
void makeroot(node *x) {
	access(x);splay(x);
	x->rev ^= 1;
}
node *findroot(node *x) {
	access(x), splay(x);
	node *ret = x;
	while( ret->ch[0] != NIL ) ret = ret->ch[0];
	return ret;
}
void link(node *x, node *y) {
	makeroot(x); x->fa = y;
}
void cut(node *x, node *y) {
	makeroot(x); access(y), splay(y);
	y->ch[0] = NIL; x->fa = NIL;
	pushup(y);
}
void modify(db k[], int f, db a, db b) {
	if( f == 1 ) {
		db m = 1, x = sin(b), y = cos(b);
		for(int i=0;i<20;i+=4) {
			k[i + 0] = x*m, m = m*a/(i+1);
			k[i + 1] = y*m, m = m*a/(i+2);
			k[i + 2] = -x*m, m = m*a/(i+3);
			k[i + 3] = -y*m, m = m*a/(i+4);
		}
	}
	else if( f == 2 ) {
		db m = 1, x = exp(b);
		for(int i=0;i<20;i++)
			k[i] = x*m, m = m*a/(i+1);
	}
	else if( f == 3 ) {
		for(int i=0;i<20;i++)
			k[i] = 0;
		k[0] = b, k[1] = a;
	}
}
db calculate(db k[], db x) {
	db ret = 0, p = 1;
	for(int i=0;i<20;i++)
		ret += p*k[i], p *= x;
	return ret;
}
void init() {NIL = &pl[0], NIL->ch[0] = NIL->ch[1] = NIL->fa = NIL;}
char op[10];
int main() {
	int n, m; init();
	scanf("%d%d%s", &n, &m, op);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		ad[i] = &pl[i], ad[i]->ch[0] = ad[i]->ch[1] = ad[i]->fa = NIL;
		for(int j=0;j<20;j++)
			ad[i]->k[j] = ad[i]->s[j] = 0;
		int f; db a, b; scanf("%d%lf%lf", &f, &a, &b);
		modify(ad[i]->k, f, a, b), pushup(ad[i]);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%s", op);
		if( op[0] == 'a' ) {
			int u, v; scanf("%d%d", &u, &v); u++, v++;
			link(ad[u], ad[v]);
		}
		if( op[0] == 'd' ) {
			int u, v; scanf("%d%d", &u, &v); u++, v++;
			cut(ad[u], ad[v]);
		}
		if( op[0] == 'm' ) {
			int c, f; db a, b; scanf("%d%d%lf%lf", &c, &f, &a, &b); c++;
			access(ad[c]), splay(ad[c]), modify(ad[c]->k, f, a, b), pushup(ad[c]);
		}
		if( op[0] == 't' ) {
			int u, v; db x; scanf("%d%d%lf", &u, &v, &x); u++, v++;
			makeroot(ad[u]);
			if( findroot(ad[v]) != ad[u] ) puts("unreachable");
			else {
				db ans = calculate(ad[v]->s, x); int k = 0;
				if( ans < 1 ) {
					while( ans < 1 ) ans *= 10, k++;
					printf("%0.8lfe-%03d\n", ans, k);
				}
				else {
					while( ans >= 10 ) ans /= 10, k++;
					printf("%0.8lfe+%03d\n", ans, k);
				}
			}
		}
	}
}

@details@

想到我考前还没写过 LCT。

想到我还要这道题没做。

于是就有了这篇博客。

另外，虽然题目是建议科学计数法，但是如果不用科学计数法就会因为浮点误差 WA 掉。

原因？你想啊，假如一个五位数从 10^(-6) 开始出现误差，你把它变成科学计数法，它在 10^(-7) 之前不就都没有误差了吗？