Treap名字的来源:Tree+Heap,正如名字一样,就是一颗简单的BST,一坨堆的合体。BST的不平衡的根本原因在于基于左<=根<=右的模式吃单调序列时候会无脑成长链,而Treap则添加一个优先级属性,值的大小随机生成,用最大堆的方式维护。之所以使用堆,是因为堆是一颗 完全二叉树,而BST梦寐以求的就是完全二叉结构,二者一结合,就产生了一种新的Balanced BST。Treap依赖于随机数,随机生成的优先级属性,通过简单的左右旋可以将长链旋转成近似完全二叉树结构,注意只是近似,平均情况下的树高是(log 1.46n),但是完全二叉是(log 2n),可以说还是有一点点差距的,不过基本接近红黑树的平衡状况。鉴于比红黑树好拍,而且可塑性很强(如果你是用STL红黑树),在不是很追求鲁棒性的前提下,Treap算是神器了。

常规的BST用不着Treap,Treap的一大作用是求第K大数,具体方法是每个结点维护一个附加信息s,s为所有子结点和自身结点的数量,形成一颗 Rank Tree(名次树),如果你是手拍红黑树,可以自己实现,用不着Treap。但是如果使用STL,STL高度封装特性使得我们无法定制自己的树,这点着实 蛋疼。记住Treap的优势:简化的可定制的红黑树!

先来介绍一下Treap的结点结构。

struct node
{
node *ch[];
int v,r,s; //v-value,r-random值,s-附加结点信息
int cmp(int x)
{
if(x==v) return -;
return x<v?:; //0-left,1-right
}
void maintain() //维护附加信息s
{
s=;
if(ch[]!=NULL) s+=ch[]->s;
if(ch[]!=NULL) s+=ch[]->s;
}
}

Treap的结点结构

Treap的主操作由以下几部分构成:rotate、insert,remove。

void rotate(node* &o,int d)
{
node *k=o->ch[d^];o->ch[d^]=k->ch[d];k->ch[d]=o;
o->maintain();k->maintain();o=k;
}

rotate操作

void insert(node* &o,int x)
{
if(o==NULL)
{o=new node;o->ch[]=o->ch[]=NULL;o->v=x;o->r=rand();o->s=;}
else
{
int d=x<o->v?:; //不使用cmp的原因:可能有重复元素
insert(o->ch[d],x);
if(o->ch[d]->r > o->r) rotate(o,d^);
}
o->maintain();
}

insert操作

void remove(node* &o,int x)
{
int d=o->cmp(x);
if(d==-)
{
if(o->ch[]!=NULL&&o->ch[]!=NULL)
{
int d2=o->ch[]->r>o->ch[]->r?:;
rotate(o,d2);
remove(o->ch[d2],x);
}
else {if(o->ch[]==NULL) o=o->ch[];else o=o->ch[];}
}
else remove(o->ch[d],x);
if(o!=NULL) o->maintain();
}

remove操作

remove的操作比较繁点,分为三种情况:

1.左右子树都存在,得让左右结点较大的r转到根,然后移出原来的根。

2.左右子树存其一,根直接改成左/右即可。

3.左右子树不存在,直接NULL即可。

然后就是RankTree的操作:kth

int kth(node *&o,int k)
{
if(o == NULL || k<= || k>o->s) return ;
int s = (o->ch[] == NULL ? : o->ch[]->s);
if(k == s + ) return o->v;
else if(k<=s) return kth(o->ch[],k);
else return kth(o->ch[],k-s-);
}

kth操作

@练习题

LA5031,查询指定点连通的第K大数。首先得明白连通≠邻接,所以查询某个点的连通点,得从该点的root进行。本题中虽然说是图,但是必须清 楚,图可以由多棵Tree合成。方法是先保持所有结点独立,各自为一颗Tree,然后对于有边的u、v,进行两颗Tree的合并操作。由于合并的时候要批 量修改父节点,这里借助于并查集完成操作。最麻烦的是删除指定一条边,如果正向处理,代码要写好多行。这里借助逆向操作,变删除为添加,就好办多了。注 意,一旦逆向后,原本修改结点的操作也要反过来。cmd里保存的是现有w的之前的w,然后覆盖w,逆向处理的时候修改的之前备份的值,而不是应该修改的 值。

主要操作为addedge,merge,change,query。

merge(src,dest): 土法子,就是把src所有点取出来insert。递归src左右子树,然后将src根的值insert到dest里面,最后src赋值NULL

addedge(u,v) :先确认合并的u、v是否在同一集合,如果不在,将结点少的点merge到结点多的点里面(优化)。

change(x,v): 先确定目标点的root,remove掉值为x的点(??对LRJ的代码产生疑惑,题目说是将指定id的点修改,万一有相同的x,那不就删了多点?) 然后insert值为v的点,修改w保存的值。

query: 每次通过并查集定位指定点的root,然后做kth,累加统计。

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