luogu 4844 LJJ爱数数 (莫比乌斯反演+数学推导)

题目大意：求满足gcd(a,b,c)==1，1/a+1/b=1/c，a,b,c<=n的{a,b,c}有序三元组个数

因为题目里有LJJ我才做的这道题

出题人官方题解https://www.cnblogs.com/Blog-of-Eden/p/9367521.html对我帮助很大

思维很巧妙的一道题，佩服出题人Orzzz

由原式可得，$c=\frac{ab}{a+b}$

令g=gcd(a,b)，A=a/g,B=b/g，显然gcd(g,c)==1，gcd(A,B)==1

带入可得$\frac{ABg^{2}}{(A+B)g}=c$ <=> $\frac{ABg}{A+B}=c$

因为A,B互质，所以$A,B,A+B$两两互质

由$\frac{ABg}{A+B}=c$可得

因为c是整数，A与A+B互质，B与$A+B互质，所以当且仅当(A+B)|g

令G=g/(A+B)，可得ABG=c，所以G|c，而g与c互质，所以G作为g的因子，与c也一定互质，即gcd(G,c)==1，所以G只能等于1

综上，可得g=A+B,c=AB,a+b=$g^{2}$

现在大问题转化成了一般性问题，每次枚举一个g，求在一定范围内，g=A+B且gcd(A,B)==1的数对数量

显然这样的数对数量可以用莫比乌斯反演求得

由于g<=$\sqrt(2n)$，g<$2*10^{6}$，通过预处理，分解质因数是时间可以优化成logn，再筛出它所有的因子，利用莫比乌斯函数的容斥性质，即可求得合法数对数量

筛出每个数的因子的时间是均摊logn(调和级数)，但由于空间限制，不能预处理出每个数的所有因子..

而A的合法范围则是保证A<=g,A*g<=n&&B*g<=n

细节需要多思考

 #include <cmath>
 #include <vector>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #define N 2001000
 #define maxn 2000000
 #define ll long long
 #define uint unsigned int
 using namespace std;
 
 ll n;
 int cnt;
 
 int pr[N],use[N],mu[N],pmu[N],nxt[N];
 void get_pr()
 {
     mu[]=pmu[]=;
     for(int i=;i<=maxn;i++)
     {
         if(!use[i]) pr[++cnt]=i,nxt[i]=i,mu[i]=-;
         pmu[i]=pmu[i-]+mu[i];
         for(int j=;j<=cnt&&i*pr[j]<=maxn;j++){
             use[i*pr[j]]=,nxt[i*pr[j]]=pr[j];
             if(i%pr[j]==){
                 mu[i*pr[j]]=;
                 break;
             }else{
                 mu[i*pr[j]]=-mu[i];
             }
         }
     }
 }
 int son[N],d[N],ps[N],num,nson;
 void dfs_son(int s,int dep)
 {
     if(dep>num) {son[++nson]=s;return;}
     for(int j=;j<=d[dep];j++)
         dfs_son(s,dep+),s*=ps[dep];
 }
 void get_son(int x)
 {
     num=;
     while(x!=){
         int p=nxt[x];ps[++num]=p;d[num]=;
         while(x%p==) x/=p,d[num]++;
     }
     if(x!=) ps[++num]=x,d[num]=;
     for(int i=;i<=nson;i++) son[i]=;
     nson=;
     dfs_son(,);
 }
 ll solve(int l,int r,int g)
 {
     ll ans=;l--;
     get_son(g);
     for(int i=;i<=nson;i++)
         ans+=1ll*mu[son[i]]*(r/son[i]-l/son[i]);
     return ans;
 }
 
 int main()
 {
     //freopen("t1.in","r",stdin);
     scanf("%lld",&n);
     ll sq=sqrt(n*);
     get_pr();
     ll ans=;
     for(ll g=;g<=sq;g++)
     {
         int l=max(1ll,((g*g-n)/g+( ((g*g-n)%g==)?: )));
         int r=min(g-,n/g);
         if(l>r) continue;
         ans+=solve(l,r,g);
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }