NOIP2017提高组模拟赛15（总结）

第一题讨厌整除的小明

【题目描述】

　　小明作为一个数学迷，总会出于数字的一些性质喜欢上某个数字，然而当他喜欢数字k的时候，却十分讨厌那些能够整除k而比k小的数，认为那些数会分解数字k从而破坏掉k的美感……

　　有一天，他想：如果所有人都和自己一样，那么是不是喜欢两个含有倍数关系的不同数字的人就不能做朋友了？于是他想，至少用多少个集合，才能包括1到n的所有n个整数，使得所有存在倍数关系的两个不同数字在不同的集合里面？

　　小明脑子不好使，于是把问题交给了你。

【输入格式】

　　第一行一个数字q，表示询问次数

　　接下来q行，每一行一个数字n，表示问题中的n。

【输出格式】

　　共q行，每行一个数字，表示数字n对应的问题的答案。

【输出样例】

2

7

10

【输出样例】

3

4

【解题思路】

　　其实就是求\(2^T≤n\)中最大的T值，答案即为T+1。

　　为什么？

列个次方表：

|次方|0|1|2|3|4|5|

|-|-|-|-|-|-|

|2|1|2|4|8|16|32|

|3|1|3|9|27|81|243|

|5|1|5|25|125|625|3125|

　　如此图排列，那么质数\(pi^k\)已经处理好，那合数呢？

　　设合数\(X=p1^{k1}*p2^{k2}*p3^{k3}*……*pn^{kn}\)

　　X可以放在第（k1+k2+k3+……+kn）列里，则一定不会有倍数关系。

　　因为自然数X分解成质因数只会有一种方案。

　　假设Y=KX（K>1），且X,Y在同一列。

　　那么∑p(Y)=∑p(K)+∑p(X)，K>1所以∑p(K)>0。

　　所以X,Y不可能在同一列。

　　又可以知道∑q≤T。（最大的次方数不超过T）

　　求出T即可。时间复杂度O(q log n)

【代码】

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T;
ll n;
int main()
{
	freopen("2057.in","r",stdin);
	freopen("2057.out","w",stdout);
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld",&n); int s=0;
		while(n) { n>>=1; s++; }
		printf("%d\n",s);
	}
	return 0;
}

第二题山高（原题 bzoj3193 地形生成）

【题目描述】

　　有n座山，每座山有一个高度和关键数字。

　　现将这n座山排成一排，要求对于每座山排在其前面且比它高的山的数量小于它的关键数字。

　　询问不同的标号序列和等高线序列的数量是多少。

　　标号序列就是按顺序写下每座山的标号，等高线序列就是按顺序写下它们的高度。

【输入格式】

　　第一行一个整数n。

　　接下来n行每行两个整数表示每座山的高度和关键数字。

【输出格式】

　　两个整数表示不同的标号序列的数量和不同的等高线序列的数量。

　　答案对2011取模。

【输出样例】

2

2 2

2 2

【输出样例】

2 1

【数据规模】

　　1 <= n <= 1000，所有数字不大于 1000000000,

　　对于30%的数据, 1 <= n <= 100

【解题思路】

　　假如没有相同高度的山就好做了……

　　题目的si是小于，si--，化成小于等于。

　　先从大到小排序，高度hi相等的关键字si小的在前。

　　先把同一高度的提取出来。

　　对于一段高度相同的山，第1个为i，最后一个为t。

　先考虑第一个答案：

　　那么第j（i≤j≤t）座山可选取的范围就是min(i,sj+1)+j-i，所有的山的范围乘起来就是答案。

　　1 2 3 4 5…i…j…t，j可以放在i之前的山（它们都高过j）的后面，一共有i种（第0座山到第i-1座山的后面，还要和sj+1取min），还可以放在相等的山的后面，也就是j-i。所以山j的范围是min(i,sj+1)+j-i。

　考虑第二个答案：

　　因为相同的山即使标号不同也只记做一种方案。

　　所以，相同的山一定是从前往后放的。也就是相同的山i,i+1，i一定放在i+1之前。

　　列出dp方程：dp[i][j]表示第i个相同的山，放在第j个山（之前的山，不与当前山等高）的后面的方案数。

　　\(dp[i][j]=\sum_{k=0}^{j}dp[i-1][k]\)

　　j是有序的，也就是si。

　　可以用前缀和优化，dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j];

　　f[j]=dp[1~i][j]，表示当前山放在第j座山后面的方案数。

　　f[j]=f[j]+f[j-1];

【代码】

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define imin(a,b) ((a<b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1200;
const int mods=2011;
int n,ans1,ans2,f[N];
struct data { int h,s; } d[N];
bool cmp(data A,data B) { return (A.h>B.h || (A.h==B.h && A.s<B.s)); }
int main()
{
	freopen("2239.in","r",stdin);
	freopen("2239.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&d[i].h,&d[i].s),d[i].s--;
	sort(d+1,d+1+n,cmp); ans1=ans2=1;
	for(int i=1;i<=n;)
	{
		int t=i,mk;
		while(d[t+1].h==d[t].h && t<n) t++;
		for(int j=1;j<=n;j++) f[j]=0;
		f[0]=1;
		for(int j=i;j<=t;j++)
		{
			ans1=ans1*((imin(i,d[j].s+1)+j-i)%mods)%mods;
			mk=imin(i-1,d[j].s);
			for(int k=1;k<=mk;k++) f[k]=(f[k]+f[k-1])%mods;
		}
		int tmp=0; mk=imin(i-1,d[t].s);
		for(int j=0;j<=mk;j++) tmp=(tmp+f[j])%mods;
		ans2=ans2*tmp%mods;
		i=t+1;
	}
	printf("%d %d\n",ans1,ans2);
	return 0;
}

第三题 ABA字符串（原题 bzoj3620 似乎在梦中见过的样子）

【题目描述】

　　给出一个长度为n的字符串（均为小写字母），以及一个整数k。

　　问该字符串的所有子串中，能被切分为A+B+A的形式且 len(A) >= k, len(B) >= 1 的子串数量有多少。

【输入格式】

　　第一行一个字符串

　　第二行一个整数k

【输出格式】

　　一个整数表示答案。

【输出样例】

abcabcabc

2

【输出样例】

8

【解题思路】

　　暴力O(n²)的KMP，没什么好说的……（其实是懒得写了）

【代码】

#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=10010;
char sd[N],*st;
int n,m,ans;
int ne[N],mi[N];
int main()
{
	freopen("2240.in","r",stdin);
	freopen("2240.out","w",stdout);
	scanf("%s",sd);
	scanf("%d",&m);
	n=strlen(sd); st=sd;
	int nt=n;
	for(int w=1;w<nt;w++)
	{
		ne[0]=ne[1]=mi[0]=mi[1]=0; int k=0;
		for(int i=2;i<=n;i++)
		{
			while(k>0 && st[i-1]!=st[k]) k=ne[k];
			if(st[i-1]==st[k]) k++;
			ne[i]=k; mi[i]=k;
			if(mi[ne[i]]>=m) mi[i]=mi[ne[i]];
			if(mi[i]>=m && (mi[i]<<1)<i) ans++;
		}
		st=st+1; n--;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}