gcd&&exgcd&&斐蜀定理
gcd就是求a和b最大公约数,一般方法就是递推。不多说,上代码。
一.迭代法
int gcd(int m, int n)
{
while(m>)
{
int c = n % m;
n = m;
m = c;
}
return n;
}
二.递归法
int Gcd(int a, int b)
{
if(b == )
return a;
return Gcd(b, a % b);
}
但exgcd是个什么玩意???
百度了一下,百科这么讲的:
存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。
好像很好理解的样子,百度还给了个代码
int gcd(int a,int b,int &x,int &y){
if (b==){
x=,y=;
return a;
}
int q=gcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return q;
}
???什么玩意???
于是我又找了一段证明:
证明: 当 b=0 时,gcd(a,b)=a,此时 x=1 , y=0 当 b!=0 时, 设 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2 又因 a%b=a-a/b*b 则 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2 ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2 ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2 ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2) 解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2 因为当 b=0 时存在 x , y 为最后一组解 而每一组的解可根据后一组得到 所以第一组的解 x , y 必然存在 得证
于是刚才那段代码返回的是a和b的gcd
void exgcd(int a,int b)
{
if (b)
{
exgcd(b,a%b);
int k=x;
x=y;
y=k-a/b*y; //k就是上一组的x-- y1 = x2 - a/b*y2;
}
else y=(x=)-;
}
还有一个斐蜀定理。。。
若a,b是整数,且(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。
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