Tarjan算法求解桥和边双连通分量（附POJ 3352 Road Construction解题报告）

    http://blog.csdn.net/geniusluzh/article/details/6619575

在说Tarjan算法解决桥和边双连通分量问题之前我们先来回顾一下Tarjan算法是如何求解强连通分量的。

       Tarjan算法在求解强连通分量的时候，通过引入dfs过程中对一个点访问的顺序dfsNum（也就是在访问该点之前已经访问的点的个数）和一个点可以到达的最小的dfsNum的low数组，当我们遇到一个顶点的dfsNum值等于low值，那么该点就是一个强连通分量的根。因为我们在dfs的过程中已经将点仍入到栈中，因此我们只需要将栈中的元素出栈直到遇到根，那么这些点就组成一个强连通分量。

        对于边双连通分量，我们需要先了解一些概念：

边连通度：使一个子图不连通所需要删除的最小的边数就是该图的边连通度。

桥（割边）：当删除一条边就使得图不连通的那条边称为桥或者是割边。

边双连通分量：边连通度大于等于二的子图称为边双连通分量。

        理解了这些概念之后我们来看看Tarjan是如何求解边双连通分量的，不过在此之前我们先说说Tarjan是怎样求桥的。同样引入了dfsNum表示一个点在dfs过程中所被访问的时间，然后就是low数组表示该点最小的可以到达的dfsNum。我们分析一下桥的特点，删除一条边之后，那么如果dfs过程中的子树没有任何一个点可以到达父亲节点及父亲节点以上的节点，那么这个时候子树就被封死了，这条边就是桥。有了这个性质，也就是说当我们dfs过程中遇到一条树边a->b，并且此时low[b]>dfsNum[a]，那么a-b就是一座桥。

        呵呵桥都求出来了，还怕边双连通分量吗？我们把所有的桥去掉之后那些独立的分量就是不同的边双连通分量，这个时候就可以按照需要灵活的求出边双连通分量了。

       下面附上POJ 3352的解题思路吧：

       这道题的意思是说，给你一个无向图，然后问你至少需要添加几条边，可以使整个图变成边双连通分量，也就是说任意两点至少有两条路可以互相连通。我们这样考虑这个问题，属于同一个边双连通分量的任意点是至少有两条通路是可以互相可达的，因此我们可以将一个边双连通分量缩成一个点。然后考虑不在边双连通分量中的点，通过缩点后形成的是一棵树。对于一个树型的无向图，需要添加（度为1的点的个数+1）/2条边使得图成为双连通的。这样问题就是变成缩点之后，求图中度为1的点的个数了。

       这个题目的条件给的很强，表示任意两个点之间不会有重边，因此我们可以直接经过Tarjan的low值进行边双连通分量的划分，最后求出度为1点数就可以解决问题了。如果是有重边的话，那么不同的low值是可能是属于同一个边双连通分量的，这个时候就要通过将图中的桥去掉然后求解边双连通分量，这个请见我的博客的另外一篇解题报告。

        下面贴上POJ 3352的ac代码，供网友们参考：
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
const int Max=1010;
int top[Max],edge[Max][Max];//memset(top,0,sizeof(top));
int dfsNum[Max],dfsnum;//memset(dfsNum,0,sizeof(dfsNum)),dfsNum=1;
int low[Max];
int degree[Max];
int ans;

void tarjan(int a,int fa)
{
    dfsNum[a]=low[a]=++dfsnum;
    for(int i=0;i<top[a];i++)
    {
        if(edge[a][i]!=fa)
        {
            if(dfsNum[edge[a][i]]==0)
            {
                tarjan(edge[a][i],a);
                if(low[a]>low[edge[a][i]])
                    low[a]=low[edge[a][i]];
            }
            else
            {
                if(low[a]>dfsNum[edge[a][i]])
                    low[a]=dfsNum[edge[a][i]];
            }
  //          if(low[edge[a][i]]>dfsNum[a])
  //          {

   //         }
        }
    }
}

int solve(int n)
{
    int i,j;
    int a,b;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        a=i;
        for(j=0;j<top[i];j++)
        {
            b=edge[a][j];
            if(low[a]!=low[b])
            {
                degree[low[a]]++;
                degree[low[b]]++;
            }
        }
    }
    int leaves=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(degree[i]==2)
        {
            leaves++;
        }
    }
    return (leaves+1)/2;
}

int main()
{
    int n,m;
    int i,a,b;
    while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
    {
        memset(top,0,sizeof(top));
        memset(degree,0,sizeof(degree));
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d %d",&a,&b);
            edge[a][top[a]++]=b;
            edge[b][top[b]++]=a;
        }

        memset(dfsNum,0,sizeof(dfsNum));
        dfsnum=0;

        tarjan(1,-1);
        ans=solve(n);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}
上面的代码的写法确实有问题，因为在同一个双连通分量中的点的low值并不一定相等，所以使用low值来判断是否在同一个分量中显然是有问题的。因此我们最安全的做饭时在tarjan的过程中，把桥标记出来，然后使用dfs跑每一个连通分量，最后使用桥统计每个点的度。

对于上面的问题，给大家带来的误导，非常抱歉。

下面的代码是对上面代码的修改，写的有点乱，供大家分享一下。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
const int Max=1010;
int top[Max],edge[Max][Max];//memset(top,0,sizeof(top));
int dfsNum[Max],dfsnum;//memset(dfsNum,0,sizeof(dfsNum)),dfsNum=1;
int low[Max];
int degree[Max];
int ans;

bool exist[Max][Max];

void tarjan(int a,int fa)
{
    dfsNum[a]=low[a]=++dfsnum;
    for(int i=0;i<top[a];i++)
    {
        if(edge[a][i]!=fa)
        {
            if(dfsNum[edge[a][i]]==0)
            {
                tarjan(edge[a][i],a);
                if(low[a]>low[edge[a][i]])
                    low[a]=low[edge[a][i]];
                if(dfsNum[a] < low[edge[a][i]])
                {
                    exist[a][edge[a][i]] = exist[edge[a][i]][a] = true;
                }
            }
            else
            {
                if(low[a]>dfsNum[edge[a][i]])
                    low[a]=dfsNum[edge[a][i]];
            }
        }
    }
}

int cc[Max], ccCnt;

void dfs(int fa, int u)
{
    cc[u] = ccCnt;
    for(int i=0; i<top[u]; i++)
    {
        int v = edge[u][i];
        if(v != fa && !exist[u][v] && !cc[v])
        {
           // printf("v %d\n", v);
            dfs(u, v);
        }
    }
}

int solve(int n)
{
    int i,j;
    int a,b;

    memset(cc, 0, sizeof(cc));
    ccCnt = 1;
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        if(!cc[i])
        {
            dfs(-1, i);
            ccCnt++;
        }
    }

    //cout<<"ccCnt "<<ccCnt<<endl;

    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        a=i;
        for(j=0;j<top[i];j++)
        {
            b=edge[a][j];
            if(cc[a] != cc[b])
            {
                degree[cc[a]]++;
                degree[cc[b]]++;
            }
        }
    }
    int leaves=0;
    for(i=1;i<ccCnt;i++)
    {
        if(degree[i]==2)
        {
            leaves++;
        }
    }
    return (leaves+1)/2;
}

int main()
{
    int n,m;
    int i,a,b;
    while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
    {
        memset(top,0,sizeof(top));
        memset(degree,0,sizeof(degree));
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d %d",&a,&b);
            edge[a][top[a]++]=b;
            edge[b][top[b]++]=a;
        }

        memset(dfsNum,0,sizeof(dfsNum));
        dfsnum=0;

        memset(exist, false, sizeof(exist));

        tarjan(1,-1);
        ans=solve(n);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}