我一开始以为有什么很牛逼的方法来做,然后一直没有思路

后来看了https://blog.csdn.net/zju2016/article/details/78562932的博客

竟然是暴搜???????????/

好我服了

大致思路:素数的范围在100以内

因为要求尽量小,所以素数取得要尽量小

在100内的素数有20多个,这20多个配合上幂

是可以凑到2的63次方那么大的

那么我们枚举素数,得出的组合个数再与题目给的比较

然后这里有个贪心,因为要尽量小,所以素数小的要取多一些

大的取小一些,所以素数幂应该随着素数增大越来越小

然后有个比较难理解的是给一个数字怎么算组合个数

假设p = a1^k1 * a2^k2 ……ak ^ kr

其实就是算有重复元素的全排列

可以理解为有k1个a, k2个b, k3个c ……

然后求全排列

那么我们设一共有n个元素,即k1 + k2 ……kr = n

那么假设最终答案为x

那么x * k1! * k2! ……kr! = n!

也就是说如果不看重复,总的排列数为n的阶乘

那么如果看重复就是x种,而每一种里面每一块

重复的元素都可以做一个小的全排列。

例如k1个a, 就有k1 !个方案

根据乘法原理,x * k1! * k2!……kr! 所得出的也是不看重复下全排列的个数

所以移项可以得x = n! /( k1 ! * k2!……kr!)

讲这个干嘛呢?

主要是为了解释加入了新元素组合总数会有什么变化

设在原来的基础上新加入了k个相同的元素

那么 新的方案x1 = (n+k)! /( k1 ! * k2!……kr! * k!)

那么我们用x1/x,可以算出

x1 / x = (n+k)! / (n!*k!)

看到(n+k)! / (n!*k!)你想到了什么?????

非常巧的是,这就是c(n+k, k)

所以我们可以预处理组合数。

  1. #include<cstdio>
  2. #include<cstring>
  3. #include<vector>
  4. #define REP(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); i++)
  5. using namespace std;
  6. typedef unsigned long long ull;
  7. const int MAXN = 112;
  8. ull c[MAXN][MAXN], n;
  9. bool is_prime[MAXN];
  10. vector<int> prime;
  11. void init()
  12. {
  13. memset(is_prime, true, sizeof(is_prime)); //线性筛法
  14. is_prime[0] = is_prime[1] = false;
  15. REP(i, 2, MAXN)
  16. {
  17. if(is_prime[i]) prime.push_back(i);
  18. REP(j, 0, prime.size())
  19. {
  20. if(i * prime[j] >= MAXN) break;
  21. is_prime[i * prime[j]] = false;
  22. if(i % prime[j] == 0) break;
  23. }
  24. }
  25. REP(i, 0, MAXN) //推组合数
  26. {
  27. c[i][0] = c[i][i] = 1;
  28. REP(j, 1, i) c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];
  29. }
  30. }
  31. void dfs(ull k, ull& ans, ull now, int ind, int pre, int up) //pre就是幂的总数,ind是当前应该从哪个素数开始用
  32. { //up是为了保证小的素数取得多,这样更优
  33. if(k > ans || ind > prime.size() || now > n) return; //超级无敌剪枝
  34. if(now == n) { ans = k; return; }
  35. ull t = 1;
  36. REP(i, 1, up + 1) //枚举当前这个素数的幂
  37. {
  38. t *= prime[ind];
  39. if(k > ans / t) return; //这么写防止溢出
  40. dfs(k * t, ans, now * c[pre+i][i], ind + 1, pre + i, i); //注意这里now的更新,解析中推过了
  41. }
  42. }
  43. int main()
  44. {
  45. init();
  46. while(~scanf("%llu", &n))
  47. {
  48. if(n == 1) { puts("1 2"); continue; } //我觉得2不能分解成素数乘积,组合的个数应该是0
  49. ull ans = 1ULL << 63; //但是题目样例是这么给的,那么就特判吧。
  50. dfs(1, ans, 1, 0, 0, 63);
  51. printf("%llu %llu\n", n, ans);
  52. }
  53. return 0;
  54. }

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