AC自动机讲解

今天花了半天肝下AC自动机，总算啃下一块硬骨头，熬夜把博客赶出来。。

正如许多博客所说，AC自动机看似很难很妙，而事实上不难，但的确很妙。笼统地说，AC自动机=Trie+KMP，但是仅仅知道这个并没有什么用，该写不出来的还是写不出来，必须理解每一步的精确含义。KMP算法的精髓是“用自己匹配自己”，即：如果前i个字符失配时应该转移到第j个字符，那么前i+1个字符失配时应该比较i+1与j+1处的字符。AC自动机是一样的道理，只不过将图画在一颗Trie上，看起来不像KMP那样直观。用语言去描述构造失配边时的过程是这样的：设当前结点和字符分别为u和c，父亲结点的失配边指向v，如果v下有对应c的边，那么说明u的失配边应该指向ch[v][c]（因为恰好匹配，公共前缀不变）；否则将u视为v的子结点（也可以理解为给v建一个虚拟子结点对应c，然后递归求解虚拟结点的失配边），去找v的失配边指向的结点，直到找到或者v为根结点。

下面用一个例子解释一下这个过程：

现在为Trie加入失配边（这张图有点乱，建议一个点一个点地捋，找到规律就好办了）

朴素的AC自动机就长这样了（红色的边代表失配边）。每次匹配字符串时，如果失配，就沿着失配边一直走直到匹配；如果匹配就对当前结点追溯其失配边，找到所有在自动机中的当前匹配到的字符串的后缀（因为它们本不会被计入答案）。

对于上面的例子，匹配时访问的结点顺序为：1，7，8，23，24，18，19，15，22，3。由于与KMP算法一样，至多回溯O(m)次，因此保证了复杂度是线性的O(n+m)。

事实上，AC自动机有一些优化的方法：　　

1.既然每次匹配时我要沿失配边找sum不为0的结点（即存在自动机中的完整字符串，而不是字符串的前缀），那么我为什么不直接开一个数组去存这些失配边指向的第一个sum不为0的结点呢？这样明显剩下一些时间。尽管理论上成立，但是我不建议使用这个优化，因为它不仅使AC自动机的代码变得冗长，还不一定有成效（毕竟只是常数优化）。

2.按我上面的介绍，失配与匹配是两种不同的状态，有不同的应对方法，但实际上两者差距并不大，仔细想想我上文的解释：将u视为v的子结点，进行递归求解，也就是说，失配其实就是匹配到了失配边所连接的结点的子结点。两者密不可分，甚至可以通过一些技巧将两者用同样的方法进行处理——只要将建立失配边的过程中，u的c子结点不存在时，ch[u][c]赋值为ch[fail[u]][c]即可。然后匹配时就不需要考虑失配的情况了，统一按匹配的情况进行转移，写起来方便多了。

例题：HDU 2222 Keywords Search

这道题就是一道AC自动机模板题，除了注意初始化外没有坑，适合上手。

其他题目以后更新。（其实是因为我才学，也只做了一道题）

代码

UPD(2017.12.24)：

例题二：UVaLive 4670 Dominating Patterns（鉴于UVaLive的网站很多人上不去，包括我，我就传vjudge的链接了）P.S.这道题在洛谷上有原题，数据可能加强了一点，这里放出传送门。

这题也算是模板题，注意一下模板串可以重复，推荐用map存重复的字符串的编号。还有就是数据范围，哪个是n，哪个是模板串长度要分清（我一开始就在这里RE一次）。

代码