c++ 递推算法

各位大佬不妨先点个赞再看文章！

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　　递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。 　　

　　递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即递推关系）。递推算法避开了求通项公式的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。一般说来，可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。

　　如果一道递推题目你找到了他的递推关系式，那么恭喜你，基本是可以拿到80%的分数了。

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我们先来考虑一个简单的问题：楼梯有n个台阶，上楼可以一步上一阶，也可以一步上两阶。一共有多少种上楼的方法？ 这是一道计数问题。在没有思路时，不妨试着找规律。n=5时，一共有8种方法：5=1+1+1+1+1   5=2+1+1+1 5=1+2+1+1 5=1+1+2+1 5=1+1+1+2 5=2+2+1 5=2+1+2 5=1+2+2  其中有5种方法第1步走了1阶(背景灰色)，3种方法第1步走了2阶，没有其他可能。假设f(n)为n个台阶的走法总数，把n个台阶的走法分成两类。

第1类：第1步走1阶，剩下还有n-1阶要走，有f(n-1)种方法。

第2类：第1步走2阶，剩下还有n-2阶要走，有f(n-2)种方法。

这样，就得到了递推式：f(n)=f(n-1)+f(n-2),不要忘记边界情况：f(1)=1,f(2)=2。把f(n)的前几项列出：1，2，3，5，8，……。

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　　　再例如，把雌雄各一的一对新兔子放入养殖场中。每只雌兔在出生两个月以后，每月产雌雄各一的一对新兔子。试问第n个月后养殖场中共有多少对兔子。

还是先找找规律。

第1个月：一对新兔子r1。用小写字母表示新兔子。

第2个月：还是一对新兔子，不过已经长大，具备生育能力了，用大写字母R1表示。

第3个月：R1生了一对新兔子r2，一共2对。

第4个月：R1又生一对新兔子r3，一共3对。另外，r2长大了，变成R2

第5个月：R1和R2各生一对，记为r4和r5，共5对。此外，r3长成R3。

第6个月：R1、R2和R3各生一对，记为r6～r8，共8对。

此外，r4和r5长大。……

　　把这些数排列起来：1，1，2，3，5，8，……，事实上，可以直接推导出来递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2):第n个月的兔子由两部分组成，一部分是上个月就有的老兔子f(n-1)，一部分是上个月出生的新兔子f(n-2)(第n-1个月时具有生育能力的兔子数就等于第n-2个月兔子总数)。根据加法原理，f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

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下面来看一下五种典型的递推关系：

Ⅰ.Fibonacci数列

在所有的递推关系中，Fibonacci数列应该是最为大家所熟悉的。在最基础的程序设计语言Logo语言中，就有很多这类的题目。而在较为复杂的Basic、Pascal、C语言中，Fibonacci数列类的题目因为解法相对容易一些，逐渐退出了竞赛的舞台。可是这不等于说Fibonacci数列没有研究价值，恰恰相反，一些此类的题目还是能给我们一定的启发的。 Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。 　　

问题的提出：有雌雄一对兔子，假定过两个月便可繁殖雌雄各一的一对小兔子。问过n个月后共有多少对兔子？ 　　

解：设满x个月共有兔子Fx对，其中当月新生的兔子数目为Nx对。第x-1个月留下的兔子数目设为Fx-1对。则： Fx=Nx+ Fx-1 　　　　　　Nx=Fx-2 (即第x-2个月的所有兔子到第x个月都有繁殖能力了) 　　　

∴ Fx=Fx-1+Fx-2 边界条件：F0=0，F1=1 　

由上面的递推关系可依次得到 　　　　

F2=F1+F0=1，F3=F2+F1=2，F4=F3+F2=3，F5=F4+F3=5，……。 　

　Fabonacci数列常出现在比较简单的组合计数问题中，例如以前的竞赛中出现的“骨牌覆盖”问题。在优选法中，Fibonacci数列的用处也得到了较好的体现。

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Ⅱ.Hanoi塔问题

问题的提出：Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a,b,c组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在a柱上，如图3-11所示。 要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上：

(1)一次只能移一个圆盘； 　　

(2)圆盘只能在三个柱上存放； 　　

(3)在移动过程中，不允许大盘压小盘。 　　

问将这n个盘子从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少个盘次？

　　解：设hn为n个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。显然，当n=1时，只需把a 柱上的盘子直接移动到c柱就可以了，故h1=1。当n=2时，先将a柱上面的小盘子移动到b柱上去；然后将大盘子从a柱移到c 柱；最后，将b柱上的小盘子移到c柱上，共记3个盘次，故h2=3。以此类推，当a柱上有n(n2)个盘子时，总是先借助c柱把上面的n-1个盘子移动到b柱上，然后把a柱最下面的盘子移动到c柱上；再借助a柱把b柱上的n-1个盘子移动到c柱上；总共移动hn-1+1+hn-1个盘次。 　　 ∴hn=2hn-1+1

边界条件：h1=1

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Ⅲ.平面分割问题 　　

　　问题的提出：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。 解：设an为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。 由图3-13可以看出：a2-a1=2；a3-a2=4；a4-a3=6。

　　从这些式子中可以看出an-an-1=2(n-1)。当然，上面的式子只是我们通过观察4幅图后得出的结论，它的正确性尚不能保证。下面不妨让我们来试着证明一下。当平面上已有n-1条曲线将平面分割成an-1个区域后，第n-1条曲线每与曲线相交一次，就会增加一个区域，因为平面上已有了n-1条封闭曲线，且第n条曲线与已有的每一条闭曲线恰好相交于两点，且不会与任两条曲线交于同一点，故平面上一共增加2(n-1)个区域，加上已有的an-1个区域，一共有an-1+2(n-1)个区域。所以本题的递推关系是an=an-1+2(n-1)，边界条件是a1=1。 平面分割问题是竞赛中经常触及到的一类问题，由于其灵活多变，常常感到棘手。

例如下面这题：

　　(1998合肥市竞赛复试第二题)同一平面内的n(n500)条直线，已知有p(p2)条直线相交于同一点，则这n条直线最多能将平面分割成多少个不同的区域？ 　　

　　解：这道题目与第一部分中的平面分割问题十分相似，不同之处就在于线条的曲直以及是否存在共点线条。由于共点直线的特殊性，我们决定先考虑p条相交于一点的直线，然后再考虑剩下的n-p条直线。首先可以直接求出p条相交于一点的直线将平面划分成的区域数为2p个，然后在平面上已经有k(k>=p)条直线的基础上，加上一条直线，最多可以与k条直线相交，而每次相交都会增加一个区域，与最后一条直线相交后，由于直线可以无限延伸，还会再增加一个区域。所以fm=fm-1+m (m>p)，边界条件在前面已经计算过了，是fp=2p。

　　虽然这题看上去有两个参数，但是在实际做题中会发现，本题还是属于带一个参数的递推关系。

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Ⅳ.Catalan数 　　

　　 Catalan数首先是由Euler在精确计算对凸n边形的不同的对角三角形剖分的个数问题时得到的，它经常出现在组合计数问题中。 　　 问题的提出：在一个凸n边形中，通过不相交于n边形内部的对角线，把n边形拆分成若干三角形，不同的拆分数目用hn表示，hn即为Catalan数。例如五边形有如下五种拆分方案(图3-14)，故h5=5。求对于一个任意的凸n边形相应的hn。

　　 Catalan数是比较复杂的递推关系，尤其在竞赛的时候，选手很难在较短的时间里建立起正确的递推关系。当然，Catalan数类的问题也可以用搜索的方法来完成，但是，搜索的方法与利用递推关系的方法比较起来，不仅效率低，编程复杂度也陡然提高

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Ⅴ.第二类Stirling数 　　

在五类典型的递推关系中，第二类Stirling是最不为大家所熟悉的。也正因为如此，我们有必要先解释一下什么是第二类Strling数。 　　　

【定义2】n个有区别的球放到m个相同的盒子中，要求无一空盒，其不同的方案数用S(n,m)表示，称为第二类Stirling数。 　　　 下面就让我们根据定义来推导带两个参数的递推关系——第二类Stirling数。 解：设有n个不同的球，分别用b1,b2,……bn表示。从中取出一个球bn，bn的放法有以下两种： 　　 ①bn独自占一个盒子；那么剩下的球只能放在m-1个盒子中，方案数为S2(n-1,m-1)； 　　 ②bn与别的球共占一个盒子；那么可以事先将b1,b2,……bn-1这n-1个球放入m个盒子中，然后再将球bn可以放入其中一个盒子中，方案数为mS2(n-1,m)。 综合以上两种情况，可以得出第二类Stirling数定理： 　　　

【定理】S2(n,m)=mS2(n-1,m)+S2(n-1,m-1) (n>1,m1) 边界条件可以由定义2推导出： 　　　 S2(n,0)=0；S2(n,1)=1；S2(n,n)=1；S2(n,k)=0(k>n)。 　　 第二类Stirling数在竞赛中较少出现，但在竞赛中也有一些题目与其类似，甚至更为复杂。读者不妨自己来试着建立其中的递推关系。

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小结：通过上面对五种典型的递推关系建立过程的探讨，可知对待递推类的题目，要具体情况具体分析，通过找到某状态与其前面状态的联系，建立相应的递推关系。