3 Screening

Screening theory:机制设计理论可以被看作是其多智能体的拓展。

概率论:是初始分析,广泛用于促进理论分析。

3.1 为单个不可分割的项目定价

模型

卖方寻求出售一件不可分割的物品。

卖方的目标是使预期收入最大化。

为什么收入最大化此福利最大化更复杂?

卖方被假设为风险中立。

​ 风险中立,风险规避,风险追求?(举例)。

只有一个买家对该物品的价值为\(\theta\)。

\[u =
\begin{cases}
\theta - t, & 买方购买这个物品支付t
\\
0, & 否则
\end{cases}
\]

\(\theta\)对买方来说是私有的并且取决于买方的类型。

3.1.1 对\(\theta\)的假设

\(\theta\)代表的是买方对物品的估价,卖方虽然不能直接获得,但是可以从以往的数据中找到大多数人对这个物品的购买价格(不包括非理性个体)。

  • 假设卖方对\(\theta\)的可能值有一个概率分布。
  • 这种分布可以用CDF F和PDF f描述。
  • F在一个区间\([\underline{\theta}, \overline{\theta}]\)内,其中\(0<\underline{\theta}<\overline{\theta}\);并且$f(\theta)>0,\forall \theta \in [\underline{\theta}, \overline{\theta}] $
  • 在卖方看来,\(\theta\)是一个具有CDF F的随机变量(但实际上它只由买方观察)

3.1.2 问题描述

卖方:找到一个出售物品的程序,使其预期收入最大化(即设计一个博弈和策略,又称机制的规则)。

买方:遵循设计好的机制,在知道\(\theta\)值的情况下,选择自己的策略,使其预期效用最大化。

第一种猜测:卖方应该选择一种博弈,根据这种博弈,买方只有一种选择,即买方没有得到物品,但必须支付t,其中t可以是一些任意大的数字。(为什么要排除这种机制?)答案是个人理性!

第二种猜测:卖方应该使用"讨价还价"、"抽签"…(复杂)我们能否将注意力限制在一小部分机制上

定义

一个"直接机制"由函数q和t组成,其中

\[q:[\underline{\theta}, \overline{\theta}] \longrightarrow [0,1](可能性) \\
t:[\underline{\theta}, \overline{\theta}] \longrightarrow \mathbb{R}(真实值)
\]

对直接机制的解释:

  • 买方被要求报告\(\theta\)(实话实说)。
  • 买方以\(q(\theta)\)的概率赢得该物品。
  • 买方必须向卖方支付\(t(\theta)\)

问题:我们总能找到一个直接的机制吗?

启示原则

命题(启示录原则)

给定一个具有相应平衡/解决方案的机制,存在一个直接机制,其中

  1. 买方如实报告其价值是一种均衡/解决方案。
  2. 结果与给定机制产生的结果相同。

很明显,这使我们能够大大简化我们的分析,因为它表明,在不丧失一般性的情况下,我们可以把寻找最优机制的工作限制在直接机制上。

确定\(q(\theta)\)和\(t(\theta)\),其中如实报告\(\theta\)对买方是最优的。

考虑到直接机制,买方的预期效用变为

\[u(\theta) = \theta q(\theta) - t(\theta)
\]

3.1.3 特性

定义(激励相容性,IC)

如果对每一个买方类型来说,如实告知都是最优策略,也就是说这个直接机制具备激励相容性:

\[u(\theta) = \theta q(\theta)-t(\theta) \ge \theta q(\theta^{'})-t(\theta^{'}),
\forall \theta, \theta^{'} \in [\underline{\theta}, \overline{\theta}]
\]

定义(个人理性,IR)

如果买方以真实的类型自愿参与拍卖,即这个直接机制满足个人理性:

\[u(\theta) \ge 0, \forall \theta \in [\underline{\theta}, \overline{\theta}]
\]

满足IC的条件

引理

如果一个直接机制是激励相容的,那么分配概率q随着θ的增加而增加。

引理

如果一个直接机制是激励相容的,那么买方的效用函数u是递增和凸的,并且满足:

\[u^{'}(\theta) = \frac{\partial u (\theta)}{\partial \theta} = q(\theta)
\]

引理

如果一个直接机制是激励相容的,那么对于所有\(\theta \in [\underline{\theta},\overline{\theta}]\)有:

\[\begin{array}{l}
u(\theta)=u(\underline{\theta})+\int_{\underline{\theta}}^{\theta} q(x) d x, \\
t(\theta)=t(\underline{\theta})+(\theta q(\theta)-\underline{\theta} q(\underline{\theta}))-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} q(x) d x .
\end{array}
\]

命题

一个直接机制(q,t)是激励相容的当且仅当下列条件

  • q是\(\theta\)的增函数。
  • 对于任意\(\theta \in [\underline{\theta}, \overline{\theta}]\),有
\[t(\theta)=t(\underline{\theta})+(\theta q(\theta)-\underline{\theta} q(\underline{\theta}))-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} q(x) d x .
\]

IR的条件与影响

命题

当且仅当\(u(\theta) \ge 0\)时,一个激励兼容的机制是个人理性的。

引理

有了IC和IR,为了使卖家的收入最大化,我们应该设定

\[t(\underline{\theta})=\underline{\theta} q(\underline{\theta}) \quad \text { and } \quad t(\theta)=\theta q(\theta)-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} q(x) d x
\]

3.2 为无限可分的项目定价

模型

卖方试图将一个可无限分割的物品,如糖,卖给一个买方。

卖方的目标是使预期收入最大化(风险中立)。

卖方有一个线性生产成本,即生产数量q的物品的成本为cq,其中c>0是一个常数。

买方购买数量q≥0的物品,支付t的效用为:

\[u=\theta v(q)-t
\]

这里,假设\(v(0)=0, v^{'}(q)>0, v^{''}(q)<0, \forall q \ge 0\),也就是从0开始,增长的速度越来越缓慢,类似于边际效应。

\(\theta v(q)\)表示买方对数量q的物品的支付意愿。

3.2.1 对\(\theta\)的假设

参数\(\theta\)反映了买方对该物品的重视程度。

  • 假设卖方对\(\theta\)的可能值有一个概率分布。
  • 这种分布可以用CDF F和PDF f描述。
  • F在一个区间\([\underline{\theta}, \overline{\theta}]\)内,其中\(0<\underline{\theta}<\overline{\theta}\);并且$f(\theta)>0,\forall \theta \in [\underline{\theta}, \overline{\theta}] $
  • 在卖方看来,\(\theta\)是一个具有CDF F的随机变量(但实际上它只由买方观察)

定义

一个"直接机制"由函数q和t组成,其中

\[q:[\underline{\theta}, \overline{\theta}] \longrightarrow [0,1](可能性) \\
t:[\underline{\theta}, \overline{\theta}] \longrightarrow \mathbb{R}(真实值)
\]

对直接机制的解释:

  • 买方被要求报告\(\theta\)(实话实说)。
  • 买方以\(q(\theta)\)的概率赢得该物品。
  • 买方必须向卖方支付\(t(\theta)\)

与单一不可分物品的不同是

买方的效用函数现在是\(u(\theta)=\theta v(q(\theta))-t(\theta)\)而不是\(\theta q(\theta)-t(\theta)\)

3.2.3 特性

一个直接机制(q,t)是激励相容的当且仅当下列条件

  • q是\(\theta\)的增函数。
  • 对于任意\(\theta \in [\underline{\theta}, \overline{\theta}]\),有
\[t(\theta)=t(\underline{\theta})+(\theta v(q(\theta))-\underline{\theta} v(q(\underline{\theta})))-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} v(q(x)) d x .
\]

一个激励兼容的机制是个人理性的当且仅当:

\[u(\underline{\theta}) = t(\underline{\theta})-\underline{\theta} v(q(\underline{\theta})) \ge 0
\]

3.2.4 收益最大化

引理

有了IC和IR,为了使卖家的收入最大化,我们应该设定

\[t(\underline{\theta})=\underline{\theta} v(q(\underline{\theta})) \quad \text { and } \quad t(\theta)=\theta v(q(\theta))-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} v(q(x)) d x
\]

剩余的问题:如何确定函数q(即资源分配)?

回顾一下,卖方的收入等于从买方收取的价格和其生产成本之间的差额

取期望值并代入的表达式,我们有

对括号中的表达式进行导数,我们有

\[v^{\prime}(q(\theta))\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right)-c=0
\]

\[v^{\prime}(q(\theta))\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right)=c
\]

如果\(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)} \le 0\),那么最优选择是\(q(\theta)=0\),为什么?

如果\(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)} \gt 0\),但\(v^{\prime}(0)\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right) \le c\),那么最优解\(q(\theta)=0\)。为什么?

如果\(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)} \gt 0\),但\(v^{\prime}(0)\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right) \gt c\),那么最优解\(q(\theta)\)可以通过求解上述方程得到。

剩余的问题: q是否是\(\theta\)的增函数?

给定以下假设,q一定是\(\theta\)的增函数

假设

\(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\)是\(\theta\)的增函数

注意

这就是所谓的 increasing hazard rate 条件。

如果一个分布F满足这样的条件,那么它就被称为 regular 的。

3.2.5 最优解决方案

命题

假设F是 regular 的。那么,一个预期利润最大化的q的选择是由以下公式给出

  1. 如果\(v^{\prime}(0)\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right) \le c\),我们有\(q(\theta)=0\);
  2. 否则,通过求解\(v^{\prime}(q(\theta))\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right)=c\)得到最优的\(q(\theta)\)。

利润最大化的t由以下公式给出

\[t(\theta)=\theta v(q(\theta))-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} v(q(x)) d x
\]

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