机制设计原理与应用(三)Screening

3 Screening
- 3.1 为单个不可分割的项目定价
- 3.2 为无限可分的项目定价

3 Screening

Screening theory：机制设计理论可以被看作是其多智能体的拓展。

概率论：是初始分析，广泛用于促进理论分析。

3.1 为单个不可分割的项目定价

模型

卖方寻求出售一件不可分割的物品。

卖方的目标是使预期收入最大化。

为什么收入最大化此福利最大化更复杂？

卖方被假设为风险中立。

风险中立，风险规避，风险追求？（举例）。

只有一个买家对该物品的价值为$\theta$。

\[u =
\begin{cases}
\theta - t, & 买方购买这个物品支付t
\\
0, & 否则
\end{cases}
\]

$\theta$对买方来说是私有的并且取决于买方的类型。

3.1.1 对$\theta$的假设

$\theta$代表的是买方对物品的估价，卖方虽然不能直接获得，但是可以从以往的数据中找到大多数人对这个物品的购买价格(不包括非理性个体)。

假设卖方对$\theta$的可能值有一个概率分布。
这种分布可以用CDF F和PDF f描述。
F在一个区间$[\underline{\theta}, \overline{\theta}]$内，其中$0<\underline{\theta}<\overline{\theta}$；并且$f(\theta)>0，\forall \theta \in [\underline{\theta}， \overline{\theta}] $
在卖方看来，$\theta$是一个具有CDF F的随机变量（但实际上它只由买方观察）

3.1.2 问题描述

卖方：找到一个出售物品的程序，使其预期收入最大化(即设计一个博弈和策略，又称机制的规则)。

买方：遵循设计好的机制，在知道$\theta$值的情况下，选择自己的策略，使其预期效用最大化。

第一种猜测：卖方应该选择一种博弈，根据这种博弈，买方只有一种选择，即买方没有得到物品，但必须支付t，其中t可以是一些任意大的数字。(为什么要排除这种机制？)答案是个人理性！

第二种猜测：卖方应该使用"讨价还价"、"抽签"…（复杂）我们能否将注意力限制在一小部分机制上

定义

一个"直接机制"由函数q和t组成，其中

\[q:[\underline{\theta}, \overline{\theta}] \longrightarrow [0,1](可能性) \\
t:[\underline{\theta}, \overline{\theta}] \longrightarrow \mathbb{R}(真实值)
\]

对直接机制的解释：

买方被要求报告$\theta$（实话实说）。
买方以$q(\theta)$的概率赢得该物品。
买方必须向卖方支付$t(\theta)$

问题：我们总能找到一个直接的机制吗？

启示原则

命题（启示录原则）

给定一个具有相应平衡/解决方案的机制，存在一个直接机制，其中

买方如实报告其价值是一种均衡/解决方案。
结果与给定机制产生的结果相同。

很明显，这使我们能够大大简化我们的分析，因为它表明，在不丧失一般性的情况下，我们可以把寻找最优机制的工作限制在直接机制上。

确定$q(\theta)$和$t(\theta)$，其中如实报告$\theta$对买方是最优的。

考虑到直接机制，买方的预期效用变为

\[u(\theta) = \theta q(\theta) - t(\theta)
\]

3.1.3 特性

定义（激励相容性，IC）

如果对每一个买方类型来说，如实告知都是最优策略，也就是说这个直接机制具备激励相容性：

\[u(\theta) = \theta q(\theta)-t(\theta) \ge \theta q(\theta^{'})-t(\theta^{'}),
\forall \theta, \theta^{'} \in [\underline{\theta}, \overline{\theta}]
\]

定义（个人理性，IR）

如果买方以真实的类型自愿参与拍卖，即这个直接机制满足个人理性：

\[u(\theta) \ge 0, \forall \theta \in [\underline{\theta}, \overline{\theta}]
\]

满足IC的条件

引理

如果一个直接机制是激励相容的，那么分配概率q随着θ的增加而增加。

引理

如果一个直接机制是激励相容的，那么买方的效用函数u是递增和凸的，并且满足：

\[u^{'}(\theta) = \frac{\partial u (\theta)}{\partial \theta} = q(\theta)
\]

引理

如果一个直接机制是激励相容的，那么对于所有$\theta \in [\underline{\theta}，\overline{\theta}]$有：

\[\begin{array}{l}
u(\theta)=u(\underline{\theta})+\int_{\underline{\theta}}^{\theta} q(x) d x, \\
t(\theta)=t(\underline{\theta})+(\theta q(\theta)-\underline{\theta} q(\underline{\theta}))-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} q(x) d x .
\end{array}
\]

命题

一个直接机制(q，t)是激励相容的当且仅当下列条件

q是$\theta$的增函数。
对于任意$\theta \in [\underline{\theta}, \overline{\theta}]$，有

\[t(\theta)=t(\underline{\theta})+(\theta q(\theta)-\underline{\theta} q(\underline{\theta}))-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} q(x) d x .
\]

IR的条件与影响

命题

当且仅当$u(\theta) \ge 0$时，一个激励兼容的机制是个人理性的。

引理

有了IC和IR，为了使卖家的收入最大化，我们应该设定

\[t(\underline{\theta})=\underline{\theta} q(\underline{\theta}) \quad \text { and } \quad t(\theta)=\theta q(\theta)-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} q(x) d x
\]

3.2 为无限可分的项目定价

模型

卖方试图将一个可无限分割的物品，如糖，卖给一个买方。

卖方的目标是使预期收入最大化（风险中立）。

卖方有一个线性生产成本，即生产数量q的物品的成本为cq，其中c>0是一个常数。

买方购买数量q≥0的物品，支付t的效用为：

\[u=\theta v(q)-t
\]

这里，假设$v(0)=0, v^{'}(q)>0, v^{''}(q)<0, \forall q \ge 0$，也就是从0开始，增长的速度越来越缓慢，类似于边际效应。

$\theta v(q)$表示买方对数量q的物品的支付意愿。

3.2.1 对$\theta$的假设

参数$\theta$反映了买方对该物品的重视程度。

假设卖方对$\theta$的可能值有一个概率分布。
这种分布可以用CDF F和PDF f描述。
F在一个区间$[\underline{\theta}, \overline{\theta}]$内，其中$0<\underline{\theta}<\overline{\theta}$；并且$f(\theta)>0，\forall \theta \in [\underline{\theta}， \overline{\theta}] $
在卖方看来，$\theta$是一个具有CDF F的随机变量（但实际上它只由买方观察）

定义

一个"直接机制"由函数q和t组成，其中

\[q:[\underline{\theta}, \overline{\theta}] \longrightarrow [0,1](可能性) \\
t:[\underline{\theta}, \overline{\theta}] \longrightarrow \mathbb{R}(真实值)
\]

对直接机制的解释：

买方被要求报告$\theta$（实话实说）。
买方以$q(\theta)$的概率赢得该物品。
买方必须向卖方支付$t(\theta)$

与单一不可分物品的不同是

买方的效用函数现在是$u(\theta)=\theta v(q(\theta))-t(\theta)$而不是$\theta q(\theta)-t(\theta)$

3.2.3 特性

一个直接机制(q，t)是激励相容的当且仅当下列条件

q是$\theta$的增函数。
对于任意$\theta \in [\underline{\theta}, \overline{\theta}]$，有

\[t(\theta)=t(\underline{\theta})+(\theta v(q(\theta))-\underline{\theta} v(q(\underline{\theta})))-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} v(q(x)) d x .
\]

一个激励兼容的机制是个人理性的当且仅当：

\[u(\underline{\theta}) = t(\underline{\theta})-\underline{\theta} v(q(\underline{\theta})) \ge 0
\]

3.2.4 收益最大化

引理

有了IC和IR，为了使卖家的收入最大化，我们应该设定

\[t(\underline{\theta})=\underline{\theta} v(q(\underline{\theta})) \quad \text { and } \quad t(\theta)=\theta v(q(\theta))-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} v(q(x)) d x
\]

剩余的问题:如何确定函数q（即资源分配）？

回顾一下，卖方的收入等于从买方收取的价格和其生产成本之间的差额。

取期望值并代入的表达式，我们有

对括号中的表达式进行导数，我们有

\[v^{\prime}(q(\theta))\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right)-c=0
\]

即

\[v^{\prime}(q(\theta))\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right)=c
\]

如果$\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)} \le 0$，那么最优选择是$q(\theta)=0$,为什么？

如果$\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)} \gt 0$，但$v^{\prime}(0)\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right) \le c$，那么最优解$q(\theta)=0$。为什么？

如果$\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)} \gt 0$，但$v^{\prime}(0)\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right) \gt c$，那么最优解$q(\theta)$可以通过求解上述方程得到。

剩余的问题: q是否是$\theta$的增函数？

给定以下假设，q一定是$\theta$的增函数

假设

$\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}$是$\theta$的增函数

注意

这就是所谓的 increasing hazard rate 条件。

如果一个分布F满足这样的条件，那么它就被称为 regular 的。

3.2.5 最优解决方案

命题

假设F是 regular 的。那么，一个预期利润最大化的q的选择是由以下公式给出

如果$v^{\prime}(0)\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right) \le c$，我们有$q(\theta)=0$；
否则，通过求解$v^{\prime}(q(\theta))\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right)=c$得到最优的$q(\theta)$。

利润最大化的t由以下公式给出

\[t(\theta)=\theta v(q(\theta))-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} v(q(x)) d x
\]